1) Найдите угол АСО, если его сторона СА касается окружности, О центр окружности, а дуга AD окружности, заключённая внутри этого угла, равна 100°. Прямая, параллельная основаниям трапеции АBCD, пересекает ее боковые стороны АВ и СD в точках Е и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 28, BC = 14, CF : DF = 4:3. 1) Отрезки АВ И СО являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если АВ = 24, а расстояние от центра окружности до хорд АВ и CD равны соответственно 16 и 12. 23. Через точку С, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Од- на прямая касается окружности в точке А, а другая прямая пересекает окружность в точках D и Е, причём CD = 4, DE = 21. Найдите АС. ۲ 23. Четырёхугольник ABCD описан около окружности, АВ BC = 16, CD = 9. Найдите AD.

1) Давай решим задачу по геометрии. Угол \( ACO \) является углом между касательной \( CA \) и хордой \( AO \). По свойству угла между касательной и хордой, он равен половине дуги, заключенной между ними. В данном случае, это дуга \( AD \), которая равна \( 100^\circ \). Угол \( CAO = \frac{1}{2} \cdot дуга AD = \frac{1}{2} \cdot 100^\circ = 50^\circ \). Так как \( OA = OC \) (радиусы), то треугольник \( AOC \) равнобедренный, и углы при основании равны: \( \angle OAC = \angle OCA \). Следовательно, \( \angle OCA = 50^\circ \). \( \angle ACO = 50^\circ \). 2) Рассмотрим трапецию \( ABCD \), где \( AD \) и \( BC \) - основания, и \( EF \) параллельна основаниям. По условию, \( AD = 28 \), \( BC = 14 \), и \( CF : DF = 4 : 3 \). Пусть \( CF = 4x \) и \( DF = 3x \). Тогда \( CD = CF + DF = 4x + 3x = 7x \). Проведем прямую \( BN \) параллельно \( CD \). Тогда \( AD = BN \). Рассмотрим треугольник \( ABN \), в котором проведена линия \( EM \) параллельно \( AN \). По теореме Фалеса, \( \frac{BE}{EA} = \frac{BM}{MN} \). Так как \( EF \) параллельна основаниям трапеции, то \( EF = \frac{AD + BC}{2} \) только если \( E \) и \( F \) - середины боковых сторон. В нашем случае это не так. Выразим \( EF \) как \( EF = BC + \frac{CF}{CD} (AD - BC) \). \( EF = 14 + \frac{4}{7} (28 - 14) = 14 + \frac{4}{7} \cdot 14 = 14 + 4 \cdot 2 = 14 + 8 = 22 \). 3) Пусть \( O \) - центр окружности. \( AB = 24 \), расстояние от \( O \) до \( AB = 16 \), расстояние от \( O \) до \( CD = 12 \). Проведем перпендикуляры \( OK \) к \( AB \) и \( OL \) к \( CD \). Тогда \( AK = KB = \frac{AB}{2} = 12 \) и \( CL = LD = \frac{CD}{2} \). В прямоугольном треугольнике \( AOK \): \( OA^2 = OK^2 + AK^2 = 16^2 + 12^2 = 256 + 144 = 400 \). Следовательно, \( OA = \sqrt{400} = 20 \) (радиус окружности). В прямоугольном треугольнике \( COL \): \( OC = OA = 20 \) (радиус). \( OL = 12 \). \( CL^2 = OC^2 - OL^2 = 20^2 - 12^2 = 400 - 144 = 256 \). Следовательно, \( CL = \sqrt{256} = 16 \). \( CD = 2 \cdot CL = 2 \cdot 16 = 32 \). 4) По теореме о касательной и секущей, если из точки \( C \) проведена касательная \( CA \) и секущая \( CDE \), то \( CA^2 = CD \cdot CE \). По условию, \( CD = 4 \) и \( DE = 21 \), следовательно, \( CE = CD + DE = 4 + 21 = 25 \). Тогда \( CA^2 = 4 \cdot 25 = 100 \). \( CA = \sqrt{100} = 10 \). 5) Четырехугольник \( ABCD \) описан около окружности, значит, суммы противоположных сторон равны: \( AB + CD = BC + AD \). Дано: \( AB = 13 \), \( BC = 16 \), \( CD = 9 \). Подставим известные значения: \( 13 + 9 = 16 + AD \). \( 22 = 16 + AD \). \( AD = 22 - 16 = 6 \).

Ответ: 1) \( \angle ACO = 50^\circ \); 2) \( EF = 22 \); 3) \( CD = 32 \); 4) \( CA = 10 \); 5) \( AD = 6 \)

Ты молодец! У тебя всё получится!