Найдите углы треугольника, вершинами которого являются точки А(4; 1), В(6; -1) и С(6 + 2√3; 2√3 – 1).

Давай решим эту задачу по геометрии! Сначала найдем длины сторон треугольника ABC, используя формулу расстояния между двумя точками: \[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\] 1. Длина стороны AB: \[AB = \sqrt{(6 - 4)^2 + (-1 - 1)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\] 2. Длина стороны BC: \[BC = \sqrt{((6 + 2\sqrt{3}) - 6)^2 + ((2\sqrt{3} - 1) - (-1))^2} = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{12 + 12} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}\] 3. Длина стороны AC: \[AC = \sqrt{((6 + 2\sqrt{3}) - 4)^2 + ((2\sqrt{3} - 1) - 1)^2} = \sqrt{(2 + 2\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{3} - 2)^2} = \sqrt{(4 + 8\sqrt{3} + 12) + (12 - 8\sqrt{3} + 4)} = \sqrt{16 + 8\sqrt{3} + 16 - 8\sqrt{3}} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\] Теперь, когда мы знаем длины всех сторон, используем теорему косинусов для нахождения углов. Теорема косинусов: \[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(A)\] Найдем угол A: \[BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(A)\] \[(2\sqrt{6})^2 = (2\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{2})^2 - 2 \cdot (2\sqrt{2}) \cdot (4\sqrt{2}) \cdot \cos(A)\] \[24 = 8 + 32 - 32 \cdot \cos(A)\] \[24 = 40 - 32 \cdot \cos(A)\] \[32 \cdot \cos(A) = 40 - 24\] \[32 \cdot \cos(A) = 16\] \[\cos(A) = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}\] \[A = \arccos(\frac{1}{2}) = 60^\circ\] Найдем угол B: \[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(B)\] \[(4\sqrt{2})^2 = (2\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{6})^2 - 2 \cdot (2\sqrt{2}) \cdot (2\sqrt{6}) \cdot \cos(B)\] \[32 = 8 + 24 - 8\sqrt{3} \cdot \cos(B)\] \[32 = 32 - 8\sqrt{3} \cdot \cos(B)\] \[8\sqrt{3} \cdot \cos(B) = 0\] \[\cos(B) = 0\] \[B = \arccos(0) = 90^\circ\] Найдем угол C: Так как сумма углов в треугольнике равна 180 градусам, то: \[C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 60^\circ - 90^\circ = 30^\circ\]

\(\angle A = 60^\circ\)

\(\angle B = 90^\circ\)

\(\angle C = 30^\circ\)

Ответ: ∠A = 60°, ∠B = 90°, ∠C = 30°