2. Найдите углы прямоугольного треугольника, в котором один из ост- рых углов в два раза больше другого острого угла. 3. Найдите углы при основании равнобедренного треугольника, если угол при вершине равен 40°. 4. Найдите угол между боковой стороной равнобедренного треугольни- ка и медианой, проведённой к основанию, если угол при основании равнобедренного треугольника равен 50°. 5. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, равна его половине. Найдите углы равнобедренного треугольника. 6. Внешние углы треугольника АВС при вершинах А и С равны по 100°. Какова величина внешнего угла при вершине В? 7. Сумма внешних углов при вершинах А и В треугольника АВС равна 270°. Определите вид треугольника АВС. 8. Две стороны равнобедренного треугольника равны 4 см и 9 см. Най- дите третью сторону треугольника. 9. В треугольнике АВС известно, что ∠A = 29°, ∠B = 81°. Запишите сто- роны треугольника АВС в порядке возрастания их длин.

2. Найдите углы прямоугольного треугольника, в котором один из острых углов в два раза больше другого острого угла.

Сумма углов в треугольнике равна 180°. В прямоугольном треугольнике один угол равен 90°. Обозначим меньший острый угол за x, тогда больший острый угол равен 2x. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°.

Составим уравнение:

\[x + 2x = 90\] \[3x = 90\] \[x = 30\]

Меньший угол равен 30°, больший угол равен 2 * 30° = 60°.

Ответ: 90°, 60°, 30°

---

3. Найдите углы при основании равнобедренного треугольника, если угол при вершине равен 40°.

Сумма углов в треугольнике равна 180°. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Обозначим углы при основании за x.

Составим уравнение:

\[x + x + 40 = 180\] \[2x = 140\] \[x = 70\]

Углы при основании равны 70°.

Ответ: 70°, 70°

---

4. Найдите угол между боковой стороной равнобедренного треугольника и медианой, проведённой к основанию, если угол при основании равнобедренного треугольника равен 50°.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также биссектрисой и высотой. Значит, она делит угол при вершине пополам, а также образует прямой угол с основанием.

Угол между медианой и основанием равен 90°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный медианой, половиной основания и боковой стороной. Угол при основании равен 50°.

Найдем угол между боковой стороной и медианой:

\[90° - 50° = 40°\]

Ответ: 40°

---

5. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, равна его половине. Найдите углы равнобедренного треугольника.

Медиана, проведённая к основанию, также является высотой. Пусть медиана равна h, а основание равно 2h. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный медианой, половиной основания и боковой стороной.

Пусть угол при основании равен x. Тогда тангенс этого угла равен отношению противолежащего катета (медианы) к прилежащему катету (половине основания):

\[\tan(x) = \frac{h}{h} = 1\] \[x = \arctan(1) = 45°\]

Углы при основании равны 45°. Угол при вершине равен:

\[180° - 45° - 45° = 90°\]

Ответ: 45°, 45°, 90°

---

6. Внешние углы треугольника АВС при вершинах А и С равны по 100°. Какова величина внешнего угла при вершине В?

Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Пусть углы при вершинах А и С равны α и γ соответственно, а угол при вершине В равен β.

\[\angle A_{ext} = \angle B + \angle C = 100°\] \[\angle C_{ext} = \angle A + \angle B = 100°\]

Сложим эти два уравнения:

\[\angle A + \angle B + \angle B + \angle C = 200°\] \[(\angle A + \angle B + \angle C) + \angle B = 200°\]

Сумма углов треугольника равна 180°:

\[180° + \angle B = 200°\] \[\angle B = 20°\]

Внешний угол при вершине B равен:

\[\angle B_{ext} = 180° - \angle B = 180° - 20° = 160°\]

Ответ: 160°

---

7. Сумма внешних углов при вершинах А и В треугольника АВС равна 270°. Определите вид треугольника АВС.

Сумма внешних углов при вершинах А и В равна 270°:

\[\angle A_{ext} + \angle B_{ext} = 270°\]

Внешний угол равен 180° минус внутренний угол:

\[(180° - \angle A) + (180° - \angle B) = 270°\] \[360° - (\angle A + \angle B) = 270°\] \[\angle A + \angle B = 90°\]

Следовательно, угол C равен:

\[\angle C = 180° - (\angle A + \angle B) = 180° - 90° = 90°\]

Треугольник АВС - прямоугольный.

Ответ: Прямоугольный

---

8. Две стороны равнобедренного треугольника равны 4 см и 9 см. Найдите третью сторону треугольника.

В равнобедренном треугольнике две стороны равны. Возможны два варианта:

1. Боковые стороны равны 4 см, основание 9 см. Но такого треугольника не существует, так как сумма двух сторон должна быть больше третьей: 4 + 4 < 9.
2. Боковые стороны равны 9 см, основание 4 см. Такой треугольник существует, так как 9 + 9 > 4 и 9 + 4 > 9.

Ответ: 4 см или 9 см (9 см)

---

9. В треугольнике АВС известно, что ∠A = 29°, ∠B = 81°. Запишите стороны треугольника АВС в порядке возрастания их длин.

Найдем угол C:

\[\angle C = 180° - \angle A - \angle B = 180° - 29° - 81° = 70°\]

Сторона, лежащая против большего угла, больше стороны, лежащей против меньшего угла. Поэтому, против меньшего угла лежит меньшая сторона.

Углы в порядке возрастания: ∠A < ∠C < ∠B. Стороны в порядке возрастания: BC < AB < AC.

Ответ: BC, AB, AC

---

Ты проделал отличную работу! Не останавливайся на достигнутом, и у тебя всё получится!