1. Найдите углы правильного 40-угольника. 2. Найдите длину окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной 12 см. 3. В окружность вписан квадрат со стороной 8 см. Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около этой окружности. 4. Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника, равен 4√3 см. Найдите: 1) радиус окружности, 4 см, а сторона многоугольника вписанной в многоугольник; 2) количество сторон многоугольника. 5. Сторона треугольника равна 6√3 см, а прилежащие к ней углы равны 40° и 80°. Найдите длины дуг, треугольника его вершины. на которые делят описанную окружность 6. Углы правильного треугольника со стороной 6 см срезали так, что получили правильный шестиугольник. Найдите сторону образовавшегося шестиугольника.

1. Найдем углы правильного 40-угольника.

Сумма углов правильного n-угольника вычисляется по формуле: \[S = 180° \cdot (n - 2).\]

Для 40-угольника: \[S = 180° \cdot (40 - 2) = 180° \cdot 38 = 6840°. \]

Так как это правильный многоугольник, все его углы равны. Значит, каждый угол равен: \[\frac{6840°}{40} = 171°. \]

Ответ: 171°

---

2. Найдем длину окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной 12 см.

Радиус вписанной в правильный треугольник окружности равен \[r = \frac{a\sqrt{3}}{6}\] где a - сторона треугольника.

В нашем случае a = 12 см, тогда \[r = \frac{12\sqrt{3}}{6} = 2\sqrt{3} \approx 3.46 см\]

Длина окружности вычисляется по формуле \[C = 2\pi r\]

Подставляем значение радиуса: \[C = 2 \cdot \pi \cdot 2\sqrt{3} = 4\pi\sqrt{3} \approx 21.77 см\]

Ответ: Длина окружности равна приблизительно 21.77 см.

---

3. Найдем сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности, в которую вписан квадрат со стороной 8 см.

Радиус окружности, описанной около квадрата, равен половине диагонали квадрата. Диагональ квадрата со стороной a равна \(a\sqrt{2}\). Значит, радиус окружности \[R = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \approx 5.66 см.\]

Сторона правильного шестиугольника, описанного около окружности, равна \( a = \frac{2R}{\sqrt{3}} \), где R - радиус окружности.

Тогда сторона шестиугольника равна: \[a = \frac{2 \cdot 4\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{6}}{3} \approx 6.53 см.\]

Ответ: Сторона шестиугольника равна приблизительно 6.53 см.

---

4. Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника, равен 4√3 см, а сторона многоугольника равна 4 см. Найдем: 1) радиус окружности, вписанной в многоугольник; 2) количество сторон многоугольника.

1) Найдем радиус вписанной окружности. Радиус вписанной окружности связан с радиусом описанной окружности и стороной многоугольника формулой: \[r = \sqrt{R^2 - \frac{a^2}{4}}\] где R - радиус описанной окружности, a - сторона многоугольника.

Подставляем значения: \[r = \sqrt{(4\sqrt{3})^2 - \frac{4^2}{4}} = \sqrt{48 - 4} = \sqrt{44} = 2\sqrt{11} \approx 6.63 см\]

2) Найдем количество сторон многоугольника. Радиус описанной окружности связан со стороной правильного n-угольника формулой: \[a = 2R \sin(\frac{180°}{n})\]

Преобразуем формулу для нахождения n: \[\sin(\frac{180°}{n}) = \frac{a}{2R}\]

Подставляем значения: \[\sin(\frac{180°}{n}) = \frac{4}{2 \cdot 4\sqrt{3}} = \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6} \approx 0.2887\]

Теперь найдем угол, синус которого равен 0.2887: \[\frac{180°}{n} = \arcsin(0.2887) \approx 16.78°\]

Тогда количество сторон многоугольника равно: \[n = \frac{180°}{16.78°} \approx 10.73\] Так как количество сторон должно быть целым числом, то это невозможно, условие задачи противоречиво.

Ответ: 1) Радиус вписанной окружности равен приблизительно 6.63 см; 2) Условие задачи противоречиво, такого правильного многоугольника не существует.

---

5. Сторона треугольника равна 6√3 см, а прилежащие к ней углы равны 40° и 80°. Найдем длины дуг, на которые делят описанную окружность треугольника его вершины.

Пусть треугольник ABC, где AB = 6\(\sqrt{3}\) см, \(\angle A = 40°\) и \(\angle B = 80°\). Тогда \(\angle C = 180° - 40° - 80° = 60°\).

Длина дуги окружности пропорциональна углу, который опирается на эту дугу. Длина всей окружности: \[C = 2\pi R\]

Найдем радиус описанной окружности по теореме синусов: \[\frac{AB}{\sin(C)} = 2R\] Подставляем значения: \[\frac{6\sqrt{3}}{\sin(60°)} = 2R\] \[\frac{6\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R\] \[12 = 2R\] \[R = 6 см\]

Теперь найдем длины дуг, на которые делят описанную окружность вершины треугольника:

• Длина дуги AB (опирается на угол C = 60°): \[L_{AB} = \frac{60°}{360°} \cdot 2\pi R = \frac{1}{6} \cdot 2\pi \cdot 6 = 2\pi \approx 6.28 см\]
• Длина дуги BC (опирается на угол A = 40°): \[L_{BC} = \frac{40°}{360°} \cdot 2\pi R = \frac{1}{9} \cdot 2\pi \cdot 6 = \frac{4\pi}{3} \approx 4.19 см\]
• Длина дуги AC (опирается на угол B = 80°): \[L_{AC} = \frac{80°}{360°} \cdot 2\pi R = \frac{2}{9} \cdot 2\pi \cdot 6 = \frac{8\pi}{3} \approx 8.38 см\]

Ответ: Длина дуги AB приблизительно равна 6.28 см, длина дуги BC приблизительно равна 4.19 см, длина дуги AC приблизительно равна 8.38 см.

---

6. Углы правильного треугольника со стороной 6 см срезали так, что получили правильный шестиугольник. Найдем сторону образовавшегося шестиугольника.

Если от правильного треугольника отрезали углы так, чтобы получился правильный шестиугольник, то каждая сторона шестиугольника равна трети стороны исходного треугольника.

Значит, сторона образовавшегося шестиугольника равна: \[\frac{6 см}{3} = 2 см\]

Ответ: Сторона образовавшегося шестиугольника равна 2 см.

---

Ты отлично справился с этими задачами! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!