Найдите углы четырёхугольника, если три его угла пропорциональны числам 4, 5 и 7, а четвёртый угол равен их полусумме. Является ли этот четырёхугольник выпуклым?

Пусть три угла равны \(4x\), \(5x\) и \(7x\). Тогда их полусумма равна \(\frac{4x+5x+7x}{2}=8x\), поэтому четвёртый угол равен \(8x\).

Сумма углов четырёхугольника равна \(360^\circ\):

\[4x+5x+7x+8x=360^\circ\]

\[24x=360^\circ,\qquad x=15^\circ.\]

Следовательно, углы равны:

• \(4x=60^\circ\);
• \(5x=75^\circ\);
• \(7x=105^\circ\);
• \(8x=120^\circ\).

Все углы меньше \(180^\circ\), значит, четырёхугольник является выпуклым.

Ответ: \(60^\circ\), \(75^\circ\), \(105^\circ\), \(120^\circ\); четырёхугольник выпуклый.