Найдите трёхзначное натуральное число, которое при делении и на 4, и на 5, и на 6 даёт в остатке 3 и цифры в записи которого расположены в порядке убывания слева направо (например, числа 322 и 321 подходят, а число 312 нет). В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение:

Искомое трёхзначное число \(N\) удовлетворяет следующим условиям:

1. \(N \equiv 3 \pmod{4}\)
2. \(N \equiv 3 \pmod{5}\)
3. \(N \equiv 3 \pmod{6}\)
4. Цифры числа расположены в порядке убывания слева направо.

Из первых трёх условий следует, что \(N-3\) делится на 4, 5 и 6. Наименьшее общее кратное (НОК) чисел 4, 5, 6 равно 60.

Значит, \(N-3\) должно быть кратно 60. Тогда \(N-3 = 60k\), откуда \(N = 60k + 3\).

Теперь подберём значения \(k\) так, чтобы \(N\) было трёхзначным числом и его цифры убывали слева направо.

• При \(k=1\): \(N = 60 · 1 + 3 = 63\) (двузначное).
• При \(k=2\): \(N = 60 · 2 + 3 = 123\). Цифры: 1, 2, 3. Не убывают.
• При \(k=3\): \(N = 60 · 3 + 3 = 183\). Цифры: 1, 8, 3. Не убывают.
• При \(k=4\): \(N = 60 · 4 + 3 = 243\). Цифры: 2, 4, 3. Не убывают.
• При \(k=5\): \(N = 60 · 5 + 3 = 303\). Цифры: 3, 0, 3. Не убывают.
• При \(k=6\): \(N = 60 · 6 + 3 = 363\). Цифры: 3, 6, 3. Не убывают.
• При \(k=7\): \(N = 60 · 7 + 3 = 423\). Цифры: 4, 2, 3. Не убывают.
• При \(k=8\): \(N = 60 · 8 + 3 = 483\). Цифры: 4, 8, 3. Не убывают.
• При \(k=9\): \(N = 60 · 9 + 3 = 543\). Цифры: 5, 4, 3. Убывают. Это подходит!
• При \(k=10\): \(N = 60 · 10 + 3 = 603\). Цифры: 6, 0, 3. Не убывают.
• При \(k=11\): \(N = 60 · 11 + 3 = 663\). Цифры: 6, 6, 3. Не убывают.
• При \(k=12\): \(N = 60 · 12 + 3 = 723\). Цифры: 7, 2, 3. Не убывают.
• При \(k=13\): \(N = 60 · 13 + 3 = 783\). Цифры: 7, 8, 3. Не убывают.
• При \(k=14\): \(N = 60 · 14 + 3 = 843\). Цифры: 8, 4, 3. Убывают. Это подходит!
• При \(k=15\): \(N = 60 · 15 + 3 = 903\). Цифры: 9, 0, 3. Не убывают.
• При \(k=16\): \(N = 60 · 16 + 3 = 963\). Цифры: 9, 6, 3. Убывают. Это подходит!
• При \(k=17\): \(N = 60 · 17 + 3 = 1023\) (четырёхзначное).

Мы нашли несколько подходящих чисел: 543, 843, 963. Любое из них будет верным ответом.

Ответ: 543