Найдите трёхзначное число А, обладающее тремя свойствами: сумма цифр числа А делится на 5; сумма цифр числа А + 4 делится на 5; число А больше 350 и меньше 400.

Привет! Давай разберёмся с этой задачей по шагам.

У нас есть трёхзначное число А, которое должно соответствовать трём условиям:

1. Сумма цифр числа А делится на 5.
2. Сумма цифр числа А + 4 делится на 5.
3. Число А находится в диапазоне от 350 до 400 (то есть 350 < А < 400).

Шаг 1: Работаем с диапазоном.

Число А больше 350 и меньше 400. Это значит, что первая цифра числа А — это 3. Вторая цифра может быть от 5 до 9.

Шаг 2: Анализируем первое условие.

Сумма цифр числа А делится на 5. Пусть число А имеет вид 3xy, где x — десяток, y — единица. Тогда 3 + x + y должно делиться на 5.

Шаг 3: Анализируем второе условие.

Сумма цифр числа А + 4 делится на 5.

Давай рассмотрим, как меняется сумма цифр при прибавлении 4.

Например, если число 351, то А+4 = 355. Сумма цифр 3+5+1 = 9. Сумма цифр 3+5+5 = 13.

Если число 352, то А+4 = 356. Сумма цифр 3+5+2 = 10. Сумма цифр 3+5+6 = 14.

Если число 353, то А+4 = 357. Сумма цифр 3+5+3 = 11. Сумма цифр 3+5+7 = 15.

Если число 354, то А+4 = 358. Сумма цифр 3+5+4 = 12. Сумма цифр 3+5+8 = 16.

Если число 355, то А+4 = 359. Сумма цифр 3+5+5 = 13. Сумма цифр 3+5+9 = 17.

Если число 356, то А+4 = 360. Сумма цифр 3+5+6 = 14. Сумма цифр 3+6+0 = 9.

Заметим, что если число А заканчивается на 0, 1, 2, 3, 4, то при прибавлении 4, последняя цифра числа А + 4 будет 4, 5, 6, 7, 8 соответственно. Если число А заканчивается на 5, 6, 7, 8, 9, то при прибавлении 4 произойдет переход через десяток.

Важное наблюдение:

Пусть S(N) — сумма цифр числа N.

Мы знаем, что N ≡ S(N) (mod 9).

Из условия 1: S(А) ≡ 0 (mod 5).

Из условия 2: S(А + 4) ≡ 0 (mod 5).

Это значит, что S(А) должно быть кратно 5, и S(А + 4) тоже должно быть кратно 5.

Рассмотрим числа, которые находятся в диапазоне (350, 400).

Первая цифра — 3. Рассмотрим возможные комбинации для второй и третьей цифры (x и y), чтобы 3 + x + y делилось на 5.

Возможные суммы 3 + x + y:

• 10 (например, 352: 3+5+2=10)
• 15 (например, 357: 3+5+7=15)
• 20 (например, 398: 3+9+8=20)

Теперь проверим второе условие для этих чисел.

Случай 1: S(А) = 10

• Если А = 352, S(А)=10. А+4 = 356. S(А+4) = 3+5+6 = 14. Не делится на 5.
• Если А = 361, S(А)=10. А+4 = 365. S(А+4) = 3+6+5 = 14. Не делится на 5.
• Если А = 370, S(А)=10. А+4 = 374. S(А+4) = 3+7+4 = 14. Не делится на 5.
• Если А = 389, S(А)=20. А+4 = 393. S(А+4) = 3+9+3 = 15. Делится на 5.
• Если А = 398, S(А)=20. А+4 = 402. S(А+4) = 4+0+2 = 6. Не делится на 5.

Случай 2: S(А) = 15

• Если А = 357, S(А)=15. А+4 = 361. S(А+4) = 3+6+1 = 10. Делится на 5.
• Число 357 подходит под все условия!

Давай проверим:

• Число 357 трёхзначное.
• 350 < 357 < 400 (условие 3 выполнено).
• Сумма цифр 3 + 5 + 7 = 15. 15 делится на 5 (условие 1 выполнено).
• Число А + 4 = 357 + 4 = 361. Сумма цифр числа 361: 3 + 6 + 1 = 10. 10 делится на 5 (условие 2 выполнено).

Мы нашли число!

Ответ: 357