Найдите точку минимума функции y = (x - 4)² e^(2x - 9).

Для того чтобы найти точку минимума функции, нам нужно найти первую производную функции, приравнять ее к нулю и решить полученное уравнение. Затем проверить, в какой из точек производная меняет знак с минуса на плюс.

Наша функция: $$ y = (x - 4)^2 e^{2x - 9} $$

Найдем производную функции, используя правило производной произведения $$ (uv)' = u'v + uv' $$

Здесь $$ u = (x - 4)^2 $$ $$ v = e^{2x - 9} $$

Найдем производные $$ u' = 2(x - 4) $$ $$ v' = e^{2x - 9} (2x - 9)' = 2e^{2x - 9} $$

Теперь подставим в формулу производной произведения:

$$ y' = 2(x - 4) e^{2x - 9} + (x - 4)^2 (2e^{2x - 9}) $$

Вынесем общий множитель $$ 2e^{2x - 9}(x - 4) $$:

$$ y' = 2e^{2x - 9}(x - 4) [1 + (x - 4)] $$ $$ y' = 2e^{2x - 9}(x - 4) (x - 3) $$

Приравняем производную к нулю:

$$ 2e^{2x - 9}(x - 4)(x - 3) = 0 $$

Так как $$ 2e^{2x - 9} $$ всегда больше нуля, то уравнение сводится к:

$$ (x - 4)(x - 3) = 0 $$

Это уравнение имеет два корня:

$$ x_1 = 4 $$ $$ x_2 = 3 $$

Теперь проверим, как ведет себя производная на интервалах, образованных этими точками.

Интервал ( −∞, 3 ): Возьмем, например, $$ x = 0 $$ $$ y'(0) = 2e^{-9}(0 - 4)(0 - 3) = 2e^{-9}(-4)(-3) = 24e^{-9} > 0 $$ На этом интервале производная положительна, функция возрастает.

Интервал ( 3, 4 ): Возьмем, например, $$ x = 3.5 $$ $$ y'(3.5) = 2e^{2(3.5) - 9}(3.5 - 4)(3.5 - 3) = 2e^{-2}(-0.5)(0.5) = -0.5e^{-2} < 0 $$ На этом интервале производная отрицательна, функция убывает.

Интервал ( 4, ∞ ): Возьмем, например, $$ x = 5 $$ $$ y'(5) = 2e^{2(5) - 9}(5 - 4)(5 - 3) = 2e^{1}(1)(2) = 4e > 0 $$ На этом интервале производная положительна, функция возрастает.

Таким образом, в точке $$ x = 3 $$ производная меняет знак с плюса на минус, это точка максимума.

В точке $$ x = 4 $$ производная меняет знак с минуса на плюс, это точка минимума.

Ответ: x = 4