Найдите точку минимума функции y = x^(3/2) - 3x + 9.

Решение:

Для нахождения точки минимума функции, необходимо найти первую производную функции, приравнять ее к нулю и решить полученное уравнение.

Функция: \( y = x^{\frac{3}{2}} - 3x + 9 \).

Найдем первую производную \( y': \)

\( y' = \frac{d}{dx}(x^{\frac{3}{2}}) - \frac{d}{dx}(3x) + \frac{d}{dx}(9) \)

\( y' = \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} - 3 + 0 \)

\( y' = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} - 3 \)

Приравняем производную к нулю:

\( \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} - 3 = 0 \)

\( \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} = 3 \)

Умножим обе стороны на \( \frac{2}{3} \):

\( x^{\frac{1}{2}} = 3 \cdot \frac{2}{3} \)

\( x^{\frac{1}{2}} = 2 \)

Возведем обе стороны в квадрат:

\( (x^{\frac{1}{2}})^2 = 2^2 \)

\( x = 4 \)

Теперь необходимо определить, является ли найденная точка точкой минимума. Для этого найдем вторую производную:

\( y'' = \frac{d}{dx}(\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} - 3) \)

\( y'' = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} - 0 \)

\( y'' = \frac{3}{4}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{3}{4\sqrt{x}} \)

Подставим \( x = 4 \) во вторую производную:

\( y''(4) = \frac{3}{4\sqrt{4}} = \frac{3}{4 \cdot 2} = \frac{3}{8} \)

Так как \( y''(4) > 0 \), то при \( x = 4 \) функция имеет минимум.

Теперь найдем значение функции в точке минимума \( x = 4 \):

\( y(4) = 4^{\frac{3}{2}} - 3(4) + 9 \)

\( y(4) = (\sqrt{4})^3 - 12 + 9 \)

\( y(4) = 2^3 - 3 \)

\( y(4) = 8 - 3 = 5 \)

Таким образом, точка минимума имеет координаты (4, 5).

Ответ: (4, 5).