Найдите точку минимума функции y = x²+14ln(x+8)+6.

Решение:

1. Найдём производную функции \( y = x^2 + 14\ln(x+8) + 6 \).
2. \( y' = (x^2)' + (14\ln(x+8))' + (6)' \)
3. \( y' = 2x + 14 \cdot \frac{1}{x+8} \)
4. \( y' = 2x + \frac{14}{x+8} \)
5. Чтобы найти точку минимума, приравняем производную к нулю:
6. \( 2x + \frac{14}{x+8} = 0 \)
7. \( 2x = -\frac{14}{x+8} \)
8. \( x = -\frac{7}{x+8} \)
9. \( x(x+8) = -7 \)
10. \( x^2 + 8x = -7 \)
11. \( x^2 + 8x + 7 = 0 \)
12. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 - 28 = 36 \).
13. Корни: \( x_1 = \frac{-8 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 + 6}{2} = -1 \)
14. \( x_2 = \frac{-8 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 - 6}{2} = -7 \)
15. Проверим знаки производной на интервалах. Область определения функции: \( x+8 > 0 \), то есть \( x > -8 \).
16. Рассмотрим интервал \( (-8, -7) \). Возьмём \( x = -7.5 \): \( y'(-7.5) = 2(-7.5) + \frac{14}{-7.5+8} = -15 + \frac{14}{0.5} = -15 + 28 = 13 > 0 \). Функция возрастает.
17. Рассмотрим интервал \( (-7, -1) \). Возьмём \( x = -4 \): \( y'(-4) = 2(-4) + \frac{14}{-4+8} = -8 + \frac{14}{4} = -8 + 3.5 = -4.5 < 0 \). Функция убывает.
18. Рассмотрим интервал \( (-1, ∞) \). Возьмём \( x = 0 \): \( y'(0) = 2(0) + \frac{14}{0+8} = 0 + \frac{14}{8} = 1.75 > 0 \). Функция возрастает.
19. Точка \( x = -1 \) является точкой минимума, так как производная меняет знак с минуса на плюс.

Ответ: x = -1.