Найдите точку максимума функции $$y = x^2 + 12\ln(x+5) - 7$$.

Решение:

Чтобы найти точку максимума функции $$y = x^2 + 12\ln(x+5) - 7$$, нам нужно найти производную функции, приравнять ее к нулю и определить, где производная меняет знак с плюса на минус.

1. Найдем производную функции:
   $$y' = \frac{d}{dx}(x^2 + 12\ln(x+5) - 7)$$
   $$y' = 2x + 12 \cdot \frac{1}{x+5}$$
   $$y' = 2x + \frac{12}{x+5}$$
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
   $$2x + \frac{12}{x+5} = 0$$
   $$2x = -\frac{12}{x+5}$$
   $$x(x+5) = -6$$
   $$x^2 + 5x = -6$$
   $$x^2 + 5x + 6 = 0$$
3. Решим квадратное уравнение. Можно использовать дискриминант:
   $$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$$
   $$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 1}{2} = -2$$
   $$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 1}{2} = -3$$
4. Теперь проверим, в какой точке производная меняет знак с плюса на минус. Для этого подставим значения из интервалов, образованных критическими точками (и учитывая область определения функции $$x > -5$$).
   Выберем точку $$x = -4$$ (интервал $$(-5, -3)$$):
   $$y'(-4) = 2(-4) + \frac{12}{-4+5} = -8 + 12 = 4 > 0$$ (функция возрастает).
   Выберем точку $$x = -2.5$$ (интервал $$(-3, -2)$$):
   $$y'(-2.5) = 2(-2.5) + \frac{12}{-2.5+5} = -5 + \frac{12}{2.5} = -5 + 4.8 = -0.2 < 0$$ (функция убывает).
   Выберем точку $$x = 0$$ (интервал $$(-2,
   ∞)$$):
   $$y'(0) = 2(0) + \frac{12}{0+5} = \frac{12}{5} = 2.4 > 0$$ (функция возрастает).
5. Таким образом, в точке $$x = -3$$ происходит смена знака производной с плюса на минус, что означает максимум.

Ответ: $$x = -3$$.