Найдите точки максимума и минимума функции y = 2x^3 - 3x^2 - 12x.

Решение:

Для нахождения точек максимума и минимума функции необходимо найти её производную, приравнять её к нулю и решить полученное уравнение.

1. Найдем производную функции \( y = 2x^3 - 3x^2 - 12x \):
   \( y' = (2x^3 - 3x^2 - 12x)' = 6x^2 - 6x - 12 \)
2. Приравняем производную к нулю и найдем критические точки:
   \[ 6x^2 - 6x - 12 = 0 \]
   Разделим уравнение на 6:
   \[ x^2 - x - 2 = 0 \]
3. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 \).
   Корни уравнения: \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 3}{2} = 2 \) и \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 3}{2} = -1 \).
4. Определим характер точек с помощью второй производной или методом интервалов. Найдем вторую производную:
   \[ y'' = (6x^2 - 6x - 12)' = 12x - 6 \]
   Проверим значение второй производной в критических точках:
   При \( x = 2 \): \( y''(2) = 12(2) - 6 = 24 - 6 = 18 \). Так как \( y''(2) > 0 \), то в точке \( x = 2 \) функция имеет локальный минимум.
5. При \( x = -1 \): \( y''(-1) = 12(-1) - 6 = -12 - 6 = -18 \). Так как \( y''(-1) < 0 \), то в точке \( x = -1 \) функция имеет локальный максимум.

Найдем значения функции в этих точках:

При \( x = -1 \): \( y(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 - 12(-1) = 2(-1) - 3(1) + 12 = -2 - 3 + 12 = 7 \).
При \( x = 2 \): \( y(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 - 12(2) = 2(8) - 3(4) - 24 = 16 - 12 - 24 = -20 \>.

Ответ: точка максимума — (-1; 7), точка минимума — (2; -20).