Найдите точки экстремума и определите их характер. .6. a) y = 3x² - 9x + 4; 6) y = x³ + 4x² - 3x; в) y = x⁴ - 8x² + 9;

Решение:

Для нахождения точек экстремума и определения их характера, необходимо найти первую и вторую производные функций.

а) \( y = 3x^2 - 9x + 4 \)

1. Найдем первую производную: \( y' = 6x - 9 \)
2. Приравняем первую производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( 6x - 9 = 0 \Rightarrow x = \frac{9}{6} = 1.5 \)
3. Найдем вторую производную: \( y'' = 6 \)
4. Подставим критическую точку во вторую производную: \( y''(1.5) = 6 \). Так как \( y''(1.5) > 0 \), то в точке \( x = 1.5 \) находится минимум.

б) \( y = x^3 + 4x^2 - 3x \)

1. Найдем первую производную: \( y' = 3x^2 + 8x - 3 \)
2. Приравняем первую производную к нулю: \( 3x^2 + 8x - 3 = 0 \)
3. Решим квадратное уравнение, найдя дискриминант: \( D = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100 \). \( \sqrt{D} = 10 \).
4. Найдем критические точки: \( x_1 = \frac{-8 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \), \( x_2 = \frac{-8 - 10}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3 \)
5. Найдем вторую производную: \( y'' = 6x + 8 \)
6. Подставим критические точки во вторую производную: \( y''(\frac{1}{3}) = 6(\frac{1}{3}) + 8 = 2 + 8 = 10 \). Так как \( y''(\frac{1}{3}) > 0 \), то в точке \( x = \frac{1}{3} \) находится минимум.
7. \( y''(-3) = 6(-3) + 8 = -18 + 8 = -10 \). Так как \( y''(-3) < 0 \), то в точке \( x = -3 \) находится максимум.

в) \( y = x^4 - 8x^2 + 9 \)

1. Найдем первую производную: \( y' = 4x^3 - 16x \)
2. Приравняем первую производную к нулю: \( 4x^3 - 16x = 0 \Rightarrow 4x(x^2 - 4) = 0 \)
3. Критические точки: \( x=0 \), \( x=2 \), \( x=-2 \)
4. Найдем вторую производную: \( y'' = 12x^2 - 16 \)
5. Подставим критические точки во вторую производную:
6. \( y''(0) = 12(0)^2 - 16 = -16 \). Так как \( y''(0) < 0 \), то в точке \( x = 0 \) находится максимум.
7. \( y''(2) = 12(2)^2 - 16 = 12(4) - 16 = 48 - 16 = 32 \). Так как \( y''(2) > 0 \), то в точке \( x = 2 \) находится минимум.
8. \( y''(-2) = 12(-2)^2 - 16 = 12(4) - 16 = 48 - 16 = 32 \). Так как \( y''(-2) > 0 \), то в точке \( x = -2 \) находится минимум.