2. Найдите точки экстремума функции y = x3 + 2x² + 4

Ответ: x = 0 и x = -4/3

Шаг 1: Находим производную функции:

\[ y' = 3x^2 + 4x \]

Шаг 2: Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение:

\[ 3x^2 + 4x = 0 \] \[ x(3x + 4) = 0 \]

Отсюда находим два решения:

\[ x_1 = 0 \] \[ 3x + 4 = 0 \Rightarrow x_2 = -\frac{4}{3} \]

Шаг 3: Проверяем знаки производной на интервалах, чтобы определить характер точек экстремума:

• При x < -4/3, например x = -2, y' = 3(-2)^2 + 4(-2) = 12 - 8 = 4 > 0 (функция возрастает)
• При -4/3 < x < 0, например x = -1, y' = 3(-1)^2 + 4(-1) = 3 - 4 = -1 < 0 (функция убывает)
• При x > 0, например x = 1, y' = 3(1)^2 + 4(1) = 3 + 4 = 7 > 0 (функция возрастает)

Таким образом:

• x = -4/3 точка локального максимума
• x = 0 точка локального минимума

Ответ: x = 0 и x = -4/3