Найдите tg 2a, если cosa = \frac{2√6}{5} и \frac{3π}{2} < α <2π.

Ответ: -\frac{4√6}{17}

Разбираемся:

• Шаг 1: Находим sin α, зная cos α и то, что α находится в четвертой четверти. \[\sin^2 α + \cos^2 α = 1\] \[\sin α = ±\sqrt{1 - \cos^2 α}\] Т.к. \(\frac{3π}{2} < α < 2π\), то \(\sin α < 0\). \[\sin α = -\sqrt{1 - \left(\frac{2\sqrt{6}}{5}\right)^2} = -\sqrt{1 - \frac{4 \cdot 6}{25}} = -\sqrt{1 - \frac{24}{25}} = -\sqrt{\frac{1}{25}} = -\frac{1}{5}\]
• Шаг 2: Находим tg α, зная sin α и cos α. \[\tan α = \frac{\sin α}{\cos α} = \frac{-\frac{1}{5}}{\frac{2\sqrt{6}}{5}} = -\frac{1}{2\sqrt{6}} = -\frac{\sqrt{6}}{12}\]
• Шаг 3: Используем формулу для тангенса двойного угла. \[\tan 2α = \frac{2 \tan α}{1 - \tan^2 α} = \frac{2 \left(-\frac{\sqrt{6}}{12}\right)}{1 - \left(-\frac{\sqrt{6}}{12}\right)^2} = \frac{-\frac{\sqrt{6}}{6}}{1 - \frac{6}{144}} = \frac{-\frac{\sqrt{6}}{6}}{1 - \frac{1}{24}} = \frac{-\frac{\sqrt{6}}{6}}{\frac{23}{24}} = -\frac{\sqrt{6}}{6} \cdot \frac{24}{23} = -\frac{4\sqrt{6}}{23}\] Упростим еще немного: \[\tan 2α = -\frac{4\sqrt{6}}{23}\]
• Шаг 4: Вычислим значение, чтобы убедиться, что ответ имеет смысл: \[\tan 2α = -\frac{4\sqrt{6}}{23} = -\frac{4\sqrt{6} \cdot 23}{23 \cdot 23} = -\frac{92\sqrt{6}}{529}\]

Ответ: -\frac{4√6}{23}