Найдите сумму всех целых отрицательных чисел из области определения функции $$f(x) = \sqrt{128 - \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{x + \frac{1}{2x}}}}$$

Решение:

Для нахождения области определения функции необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным.

1. ОДЗ:

Подкоренное выражение: $$128 - \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{x + \frac{1}{2x}}} \ge 0$$.

Это означает, что $$\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{x + \frac{1}{2x}}} \le 128$$.

Запишем $$128$$ как степень $$\frac{1}{2}$$: $$128 = 2^7 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-7}$$.

Неравенство примет вид:

• \[ \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{x + \frac{1}{2x}}} \le \left(\frac{1}{2}\right)^{-7} \]

Так как основание степени $$\frac{1}{2}$$ меньше $$1$$, при снятии степени знак неравенства меняется на противоположный:

• \[ \frac{1}{x + \frac{1}{2x}} \ge -7 \]

2. Решение рационального неравенства:

Сначала упростим знаменатель:

• \[ x + \frac{1}{2x} = \frac{x \cdot 2x + 1}{2x} = \frac{2x^2 + 1}{2x} \]

Тогда неравенство становится:

• \[ \frac{1}{\frac{2x^2 + 1}{2x}} \ge -7 \]
• \[ \frac{2x}{2x^2 + 1} \ge -7 \]

Перенесем $$-7$$ в левую часть:

• \[ \frac{2x}{2x^2 + 1} + 7 \ge 0 \]
• \[ \frac{2x + 7(2x^2 + 1)}{2x^2 + 1} \ge 0 \]
• \[ \frac{2x + 14x^2 + 7}{2x^2 + 1} \ge 0 \]
• \[ \frac{14x^2 + 2x + 7}{2x^2 + 1} \ge 0 \]

Рассмотрим знаменатель $$2x^2 + 1$$. Так как $$x^2 \ge 0$$, то $$2x^2 + 1 \ge 1$$. Знаменатель всегда положителен.

Значит, знак неравенства определяется знаком числителя:

• $$14x^2 + 2x + 7 \ge 0$$

Найдем дискриминант квадратного трехчлена $$14x^2 + 2x + 7$$:

• $$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 14 \cdot 7 = 4 - 392 = -388$$.

Так как дискриминант отрицательный ($$D < 0$$) и коэффициент при $$x^2$$ положительный ($$14 > 0$$), то парабола $$y = 14x^2 + 2x + 7$$ всегда находится выше оси $$Ox$$. Это означает, что $$14x^2 + 2x + 7 > 0$$ для всех действительных значений $$x$$.

Таким образом, неравенство $$\frac{14x^2 + 2x + 7}{2x^2 + 1} \ge 0$$ выполняется для всех $$x$$, для которых знаменатель не равен нулю (что всегда верно).

3. Однако, нужно учесть, что аргумент в исходной степени не должен приводить к делению на ноль:

• $$x + \frac{1}{2x}
  e 0$$
• $$\frac{2x^2+1}{2x}
  e 0$$
• Это означает, что $$2x
  e 0$$, следовательно $$x
  e 0$$.

Итак, область определения функции - это все действительные числа, кроме $$0$$.

4. Нахождение суммы целых отрицательных чисел:

Область определения: $$x \in (-\infty, 0) \cup (0, \infty)$$.

Нам нужно найти сумму всех целых отрицательных чисел из этой области.

Целые отрицательные числа: $$-1, -2, -3, \dots$$.

Сумма бесконечного ряда отрицательных целых чисел расходится.

Перепроверка условия: