Найдите сумму всех отрицательных членов арифметической прогрессии (a_n), если известно, что a_{13} = 9, a_{24} = 42.

Решение:

• Для начала найдем разность арифметической прогрессии (d). Известно, что \( a_n = a_1 + (n-1)d \).
• У нас есть: \( a_{13} = a_1 + 12d = 9 \) и \( a_{24} = a_1 + 23d = 42 \).
• Вычтем первое уравнение из второго: \( (a_1 + 23d) - (a_1 + 12d) = 42 - 9 \), что дает \( 11d = 33 \).
• Отсюда \( d = \frac{33}{11} = 3 \).
• Теперь найдем первый член прогрессии \( a_1 \): \( a_1 + 12 \cdot 3 = 9 \), \( a_1 + 36 = 9 \), \( a_1 = 9 - 36 = -27 \).
• Найдем номер члена, который будет равен нулю или первым отрицательным членом, если прогрессия начинается с отрицательного числа. В данном случае \( a_1 = -27 \), прогрессия возрастающая, значит, отрицательные члены будут идти до положительных.
• Найдем номер члена, который будет положительным: \( a_n > 0 \). \( -27 + (n-1)3 > 0 \). \( 3(n-1) > 27 \). \( n-1 > 9 \). \( n > 10 \).
• Значит, \( a_{11} \) будет первым положительным членом. Отрицательными будут члены с \( a_1 \) по \( a_{10} \).
• Найдем \( a_{10} \): \( a_{10} = -27 + (10-1)3 = -27 + 9 imes 3 = -27 + 27 = 0 \).
• Сумма отрицательных членов прогрессии — это сумма членов с \( a_1 \) по \( a_9 \).
• Найдем \( a_9 \): \( a_9 = -27 + (9-1)3 = -27 + 8 imes 3 = -27 + 24 = -3 \).
• Сумма первых \( n \) членов арифметической прогрессии равна \( S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} imes n \).
• Сумма отрицательных членов (с \( a_1 \) по \( a_9 \)): \( S_9 = \frac{a_1 + a_9}{2} imes 9 = \frac{-27 + (-3)}{2} imes 9 = \frac{-30}{2} imes 9 = -15 imes 9 = -135 \).

Ответ: -135