Найдите сумму внешних углов треугольника, взятых по одному при каждой вершине. Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle 1, \angle 2, \angle 3\) - внешние. Найти: \(\angle 1 + \angle 2 + \angle 3\). Решение. 1) \(180^\circ - \angle C = \angle 1\); \(180^\circ - \angle B = \angle 2\); \(180^\circ - \angle A = \angle 3\) (смежные). 2) \(\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ\) (по теореме о сумме углов треугольника). 3) \(\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = (180^\circ - \angle C) + (180^\circ - \angle B) + (180^\circ - \angle A) = 3 \cdot 180^\circ - (\angle A + \angle B + \angle C) = 540^\circ - 180^\circ = 360^\circ\) (п. 1, 2). Ответ.

Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle 1, \angle 2, \angle 3\) - внешние углы.

Найти: \(\angle 1 + \angle 2 + \angle 3\)

Решение:

1. Внешний угол и внутренний угол треугольника, смежные, значит в сумме дают \(180^\circ\). Отсюда:

   \(180^\circ - \angle C = \angle 1\)

   \(180^\circ - \angle B = \angle 2\)

   \(180^\circ - \angle A = \angle 3\)

2. Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\):

   $$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$$

3. Суммируем внешние углы:

   $$\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = (180^\circ - \angle C) + (180^\circ - \angle B) + (180^\circ - \angle A)$$

   $$\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 540^\circ - (\angle A + \angle B + \angle C)$$

   $$\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 540^\circ - 180^\circ = 360^\circ$$

Ответ: \(360^\circ\)