14. .. Найдите сумму углов при вершинах В и D четырёхугольника ABCD на клетчатой бумаге. ( рис.)

Рассмотрим четырёхугольник ABCD, изображенный на клетчатой бумаге. Необходимо найти сумму углов при вершинах B и D.

Заметим, что четырёхугольник ABCD состоит из двух прямоугольных треугольников.

Обозначим угол при вершине B как ∠B, а угол при вершине D как ∠D. Для нахождения суммы этих углов рассмотрим треугольники, из которых состоят эти углы.

Угол ∠B состоит из двух углов, один из которых является углом прямоугольного треугольника и равен 45°, а другой угол равен углу в прямоугольном треугольнике, образованном сторонами в 1 и 2 клетки. Тангенс этого угла равен $$ \frac{1}{2}$$. Следовательно, значение этого угла можно найти, взяв арктангенс $$\frac{1}{2}$$, что приблизительно равно 26.6°.

Тогда угол ∠B = 45° + 26.6° ≈ 71.6°.

Угол ∠D также состоит из двух углов, один из которых является углом прямоугольного треугольника и равен 45°, а другой угол равен углу в прямоугольном треугольнике, образованном сторонами в 1 и 2 клетки. Тангенс этого угла равен $$\frac{1}{2}$$. Следовательно, значение этого угла можно найти, взяв арктангенс $$\frac{1}{2}$$, что приблизительно равно 26.6°.

Тогда угол ∠D = 45° + 26.6° ≈ 71.6°.

Сумма углов ∠B и ∠D равна 71.6° + 71.6° ≈ 143.2°.

Определим точное значение суммы углов B и D. Обозначим $$\alpha = arctg \frac{1}{2}$$. Тогда $$\angle B = \angle D = 45^\circ + \alpha$$. Сумма углов B и D равна $$2 \cdot (45^\circ + \alpha) = 90^\circ + 2\alpha$$. Так как $$tg \alpha = \frac{1}{2}$$, то $$2\alpha = arctg \frac{2 tg \alpha}{1-tg^2 \alpha} = arctg \frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{1-(\frac{1}{2})^2} = arctg \frac{1}{1-\frac{1}{4}} = arctg \frac{1}{\frac{3}{4}} = arctg \frac{4}{3}$$. Значит, $$ \angle B + \angle D = 90^\circ + arctg \frac{4}{3}$$. Так как $$arctg \frac{4}{3} \approx 53.13^\circ$$, то $$\angle B + \angle D \approx 90^\circ + 53.13^\circ \approx 143.13^\circ$$.

Сумма углов B и D равна 90° + arctg(4/3).

Ответ: Сумма углов при вершинах B и D равна $$90^\circ + arctg \frac{4}{3}$$