606. Найдите сумму первых пятидесяти, ста, п членов последовательности (хₙ), если: a) xₙ = 4n + 2; б) xₙ = 2n + 3; в) xₙ = n – 4; г) хη = 3n – 1. 607. Арифметическая прогрессия задана формулой аₙ = 3n + 2. Найдите сумму первых: а) двадцати её членов; б) пятнадцати её членов. 608. Найдите: а) сумму 2 + 4 + 6 + ... + 2n, слагаемыми которой являются все чётные натуральные числа от 2 до 2n; б) сумму 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1), слагаемыми которой являются все нечётные натуральные числа от 1 до 2n-1.

Решение задания 606:

Для нахождения суммы первых n членов последовательности, заданной формулой xₙ, воспользуемся формулой суммы n первых членов арифметической прогрессии: Sₙ = (n/2) * (x₁ + xₙ), где x₁ - первый член последовательности, xₙ - n-ый член последовательности.

a) xₙ = 4n + 2

Сначала найдем первый член последовательности (x₁) и n-ый член последовательности (xₙ) для n = 50, 100 и n.

• Для n = 50:
• x₁ = 4 * 1 + 2 = 6
• x₅₀ = 4 * 50 + 2 = 202
• S₅₀ = (50/2) * (6 + 202) = 25 * 208 = 5200
• Для n = 100:
• x₁ = 4 * 1 + 2 = 6
• x₁₀₀ = 4 * 100 + 2 = 402
• S₁₀₀ = (100/2) * (6 + 402) = 50 * 408 = 20400
• Для n = n:
• x₁ = 4 * 1 + 2 = 6
• xₙ = 4n + 2
• Sₙ = (n/2) * (6 + 4n + 2) = (n/2) * (4n + 8) = n * (2n + 4) = 2n² + 4n

Ответ: S₅₀ = 5200, S₁₀₀ = 20400, Sₙ = 2n² + 4n

б) xₙ = 2n + 3

• Для n = 50:
• x₁ = 2 * 1 + 3 = 5
• x₅₀ = 2 * 50 + 3 = 103
• S₅₀ = (50/2) * (5 + 103) = 25 * 108 = 2700
• Для n = 100:
• x₁ = 2 * 1 + 3 = 5
• x₁₀₀ = 2 * 100 + 3 = 203
• S₁₀₀ = (100/2) * (5 + 203) = 50 * 208 = 10400
• Для n = n:
• x₁ = 2 * 1 + 3 = 5
• xₙ = 2n + 3
• Sₙ = (n/2) * (5 + 2n + 3) = (n/2) * (2n + 8) = n * (n + 4) = n² + 4n

Ответ: S₅₀ = 2700, S₁₀₀ = 10400, Sₙ = n² + 4n

в) xₙ = n - 4

• Для n = 50:
• x₁ = 1 - 4 = -3
• x₅₀ = 50 - 4 = 46
• S₅₀ = (50/2) * (-3 + 46) = 25 * 43 = 1075
• Для n = 100:
• x₁ = 1 - 4 = -3
• x₁₀₀ = 100 - 4 = 96
• S₁₀₀ = (100/2) * (-3 + 96) = 50 * 93 = 4650
• Для n = n:
• x₁ = 1 - 4 = -3
• xₙ = n - 4
• Sₙ = (n/2) * (-3 + n - 4) = (n/2) * (n - 7) = (n² - 7n) / 2

Ответ: S₅₀ = 1075, S₁₀₀ = 4650, Sₙ = (n² - 7n) / 2

г) xₙ = 3n - 1

• Для n = 50:
• x₁ = 3 * 1 - 1 = 2
• x₅₀ = 3 * 50 - 1 = 149
• S₅₀ = (50/2) * (2 + 149) = 25 * 151 = 3775
• Для n = 100:
• x₁ = 3 * 1 - 1 = 2
• x₁₀₀ = 3 * 100 - 1 = 299
• S₁₀₀ = (100/2) * (2 + 299) = 50 * 301 = 15050
• Для n = n:
• x₁ = 3 * 1 - 1 = 2
• xₙ = 3n - 1
• Sₙ = (n/2) * (2 + 3n - 1) = (n/2) * (3n + 1) = (3n² + n) / 2

Ответ: S₅₀ = 3775, S₁₀₀ = 15050, Sₙ = (3n² + n) / 2

Решение задания 607:

Арифметическая прогрессия задана формулой aₙ = 3n + 2. Найдем сумму первых 20 и 15 членов.

a) Двадцати её членов

Используем формулу Sₙ = (n/2) * (a₁ + aₙ), где a₁ - первый член, aₙ - n-ый член.

• a₁ = 3 * 1 + 2 = 5
• a₂₀ = 3 * 20 + 2 = 62
• S₂₀ = (20/2) * (5 + 62) = 10 * 67 = 670

Ответ: S₂₀ = 670

б) Пятнадцати её членов

• a₁ = 3 * 1 + 2 = 5
• a₁₅ = 3 * 15 + 2 = 47
• S₁₅ = (15/2) * (5 + 47) = 7.5 * 52 = 390

Ответ: S₁₅ = 390

Решение задания 608:

a) Сумму 2 + 4 + 6 + ... + 2n

Это арифметическая прогрессия с первым членом a₁ = 2 и разностью d = 2. Последний член равен 2n.

Количество членов в этой прогрессии равно n.

Сумма Sₙ = (n/2) * (a₁ + aₙ) = (n/2) * (2 + 2n) = n * (1 + n) = n² + n

Ответ: n² + n

б) Сумму 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1)

Это арифметическая прогрессия с первым членом a₁ = 1 и разностью d = 2. Последний член равен 2n - 1.

Количество членов в этой прогрессии равно n.

Сумма Sₙ = (n/2) * (a₁ + aₙ) = (n/2) * (1 + 2n - 1) = (n/2) * (2n) = n²

Ответ: n²

Ответ: S₅₀ = 5200, S₁₀₀ = 20400, Sₙ = 2n² + 4n; S₅₀ = 2700, S₁₀₀ = 10400, Sₙ = n² + 4n; S₅₀ = 1075, S₁₀₀ = 4650, Sₙ = (n² - 7n) / 2; S₅₀ = 3775, S₁₀₀ = 15050, Sₙ = (3n² + n) / 2; S₂₀ = 670; S₁₅ = 390; n² + n; n²

Ты проделал отличную работу, продолжай в том же духе! У тебя все получится!