3. Найдите сумму первых пяти, сорока, k членов по- следовательности (аₙ), заданной формулой аₙ = 3n + 2.

3. Найдите сумму первых пяти, сорока, k членов последовательности (aₙ), заданной формулой aₙ = 3n + 2.

Сумма n членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

$$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$$

aₙ = 3n + 2, значит, это арифметическая прогрессия с первым членом a₁ = 3(1) + 2 = 5 и разностью d = 3.

Сумма первых n членов арифметической прогрессии можно вычислить по формуле:

$$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$$

Сумма первых пяти членов (n = 5):

$$S_5 = \frac{2(5) + (5-1)(3)}{2} \cdot 5 = \frac{10 + 12}{2} \cdot 5 = \frac{22}{2} \cdot 5 = 11 \cdot 5 = 55$$

Сумма первых сорока членов (n = 40):

$$S_{40} = \frac{2(5) + (40-1)(3)}{2} \cdot 40 = \frac{10 + 39(3)}{2} \cdot 40 = \frac{10 + 117}{2} \cdot 40 = \frac{127}{2} \cdot 40 = 127 \cdot 20 = 2540$$

Сумма первых k членов (n = k):

$$S_k = \frac{2(5) + (k-1)(3)}{2} \cdot k = \frac{10 + 3k - 3}{2} \cdot k = \frac{7 + 3k}{2} \cdot k = \frac{3k^2 + 7k}{2}$$

Ответ: S₅ = 55; S₄₀ = 2540; Sₖ = (3k²+7k)/2