Найдите сумму квадратов корней уравнения 8√x² + 10x - 9 = 9 - 10x - x².

Решение:

1. Преобразуем уравнение:
   \( 8\sqrt{x^2 + 10x - 9} = 9 - 10x - x^2 \)
2. Заметим, что \( 9 - 10x - x^2 = -(x^2 + 10x - 9) \).
   Пусть \( y = \sqrt{x^2 + 10x - 9} \). Тогда \( y^2 = x^2 + 10x - 9 \).
   Уравнение примет вид: \( 8y = -y^2 \).
3. Решим полученное уравнение:
   \( y^2 + 8y = 0 \)
   \( y(y + 8) = 0 \)
   Отсюда \( y = 0 \) или \( y = -8 \).
4. Поскольку \( y = \sqrt{x^2 + 10x - 9} \), то \( y ≥ 0 \).
   Следовательно, \( y = -8 \) не подходит. Остается \( y = 0 \).
5. Подставим \( y = 0 \) обратно:
   \( \sqrt{x^2 + 10x - 9} = 0 \)
   \( x^2 + 10x - 9 = 0 \)
6. Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант: \( D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 100 + 36 = 136 \).
   Корни: \( x_1 = \frac{-10 + \sqrt{136}}{2} = -5 + \sqrt{34} \) и \( x_2 = \frac{-10 - \sqrt{136}}{2} = -5 - \sqrt{34} \).
7. Найдем сумму квадратов корней:
   \( x_1^2 + x_2^2 = (-5 + \sqrt{34})^2 + (-5 - \sqrt{34})^2 \)
   \( = (25 - 10\sqrt{34} + 34) + (25 + 10\sqrt{34} + 34) \)
   \( = 25 - 10\sqrt{34} + 34 + 25 + 10\sqrt{34} + 34 \)
   \( = 25 + 34 + 25 + 34 = 118 \).
8. Альтернативно, по теореме Виета для \( x^2 + 10x - 9 = 0 \):
   \( x_1 + x_2 = -10 \)
   \( x_1 x_2 = -9 \)
   \( x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = (-10)^2 - 2(-9) = 100 + 18 = 118 \).

Ответ: 118.