201. Найдите стороны равнобедренного треугольника, периметр которого равен 32 см, а основание на 5 см больше боковой стороны. 202. Найдите стороны равнобедренного треугольника, периметр которого равен 54 см, а основание в 4 раза меньше боковой стороны. 203. В равнобедренном треугольнике АВС сторона АС - основание, ∠BCA = 40°, ∠ABC = 100°, BD - медиана. Найдите углы треугольника ABD. 204. На рисунке 157 АВ = BC, BD - медиана треугольника ABC, ∠ABD = = 53°. Найдите ∠ABC и ∠ADE. 205. На рисунке 158 МК = КЕ, ОЕ = 6 см, ∠MКО = ? Найдите сторону МЕ и угол МКО. 206. На рисунке 159 АВ = ВС, ∠1 = 140°.

Решение:

1. 201. Найдите стороны равнобедренного треугольника, периметр которого равен 32 см, а основание на 5 см больше боковой стороны.

   Пусть боковая сторона равна $$x$$ см, тогда основание равно $$(x + 5)$$ см. Периметр равен сумме всех сторон: $$x + x + (x + 5) = 32$$. Решаем уравнение: $$3x + 5 = 32$$, $$3x = 27$$, $$x = 9$$. Боковая сторона равна 9 см, основание $$9 + 5 = 14$$ см.

   Ответ: 9 см, 9 см, 14 см.

2. 202. Найдите стороны равнобедренного треугольника, периметр которого равен 54 см, а основание в 4 раза меньше боковой стороны.

   Пусть боковая сторона равна $$x$$ см, тогда основание равно $$rac{x}{4}$$ см. Периметр равен сумме всех сторон: $$x + x + \frac{x}{4} = 54$$. Решаем уравнение: $$rac{9x}{4} = 54$$, $$9x = 216$$, $$x = 24$$. Боковая сторона равна 24 см, основание $$rac{24}{4} = 6$$ см.

   Ответ: 24 см, 24 см, 6 см.

3. 203. В равнобедренном треугольнике АВС сторона АС - основание, ∠BCA = 40°, ∠ABC = 100°, BD - медиана. Найдите углы треугольника ABD.

   В треугольнике ABC: углы при основании AC равны, значит, ∠BAC = ∠BCA = 40°. Сумма углов треугольника равна 180°, тогда ∠ABC = 180° - ∠BAC - ∠BCA = 180° - 40° - 40° = 100°. BD - медиана, значит, она делит угол ABC пополам. ∠ABD = ∠ABC / 2 = 100° / 2 = 50°. Рассмотрим треугольник ABD. Сумма углов треугольника равна 180°, тогда ∠ADB = 180° - ∠ABD - ∠BAD = 180° - 50° - 40° = 90°.

   Ответ: ∠ABD = 50°, ∠BAD = 40°, ∠ADB = 90°.

4. 204. На рисунке 157 АВ = BC, BD - медиана треугольника ABC, ∠ABD = 53°. Найдите ∠ABC и ∠ADE.

   Так как BD — медиана равнобедренного треугольника ABC, проведенная к основанию, то она является и биссектрисой. Следовательно, ∠ABC = 2 * ∠ABD = 2 * 53° = 106°. ∠ADE = ∠ABC = 53° (соответственные углы при параллельных прямых AB и DE и секущей BD).

   Ответ: ∠ABC = 106°, ∠ADE = 53°.

5. 205. На рисунке 158 МК = КЕ, ОЕ = 6 см, Найдите сторону МЕ и угол МКО.

   Если MK = KE, то KE = MK = OE = 6 см. Следовательно, ME = MK + KE + OE = 6 + 6 = 12 см. Угол MKO = 90 градусов, так как треугольник MKO - прямоугольный.

   Ответ: ME = 12 см, угол MKO = 90°.

6. 206. На рисунке 159 АВ = ВС, ∠1 = 140°.

   Так как углы 1 и 2 смежные, то угол 2 равен 180 - 140 = 40°. Треугольник ABC равнобедренный, следовательно, угол В равен углу С и равен 40°. Сумма углов треугольника равна 180°, следовательно, угол А равен 180 - 40 - 40 = 100°.

   Ответ: ∠2 = 40°, ∠B = 40°, ∠A = 100°.