Найдите среднее арифметическое корней (корень, если он единственный) уравнения \(\sqrt{1+x\sqrt{x^2-36}}=x-1\).

ОДЗ: \(x^2-36\ge 0\), а так как левая часть неотрицательна, то \(x-1\ge 0\). Следовательно, \(x\ge 6\).

Возведём обе части в квадрат:

\[1+x\sqrt{x^2-36}=(x-1)^2.\]

Отсюда

\[x\sqrt{x^2-36}=x^2-2x=x(x-2).\]

При \(x\ge 6\) можно разделить на \(x\):

\[\sqrt{x^2-36}=x-2.\]

Снова возведём в квадрат:

\[x^2-36=(x-2)^2=x^2-4x+4,\]

\[-36=-4x+4,\qquad x=10.\]

Проверка: \(\sqrt{1+10\sqrt{100-36}}=\sqrt{1+80}=9=10-1\), поэтому корень подходит.

Ответ: \(10\).