Найдите скалярное произведение векторов а и б, если: a) |a| = 4, |b| = √3, a b = 30°; б) a{2;-3;1}, b = 3i + 2k.

Решение:

а) Скалярное произведение векторов, если известны их длины и угол между ними:

Формула скалярного произведения: $$\( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha) \)$$

Подставляем известные значения:

• $$|\vec{a}| = 4$$
• $$|\vec{b}| = \sqrt{3}$$
• $$ \alpha = 30°$$

$$\( \cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)$$

$$\( \vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \cdot \frac{3}{2} = 6 \)$$

б) Скалярное произведение векторов, заданных координатами:

Вектор b записан в виде 3i + 2k , что означает его координаты в трехмерном пространстве: b{3; 0; 2} . (Компонента j равна 0).

Формула скалярного произведения для векторов в координатах:

$$\( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y + a_z \cdot b_z \)$$

Подставляем координаты векторов:

• a{2;-3;1}
• b{3;0;2}

$$\( \vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 3 + (-3) \cdot 0 + 1 \cdot 2 = 6 + 0 + 2 = 8 \)$$

Ответ:

• а) 6
• б) 8