Найдите скалярное произведение векторов а и б, если: a) |a|=2, |b|=4, a b = 120°; б) a(a-b), если a{2;-1;-2}, b = 3i+4j.

Решение:

а) Скалярное произведение векторов, если известны их длины и угол между ними:

Используем формулу скалярного произведения: $$\( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha) \)$$

Подставляем значения:

• $$|\vec{a}| = 2$$
• $$|\vec{b}| = 4$$
• $$ \alpha = 120°$$

$$\( \cos(120°) = -0.5 = -1/2 \)$$

$$\( \vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 4 \cdot (-0.5) = 8 \cdot (-0.5) = -4 \)$$

б) Находим скалярное произведение вектора 'a' на разность векторов (a-b).

Сначала найдем вектор разности (a - b) .

Вектор b в координатах: b{3; 4; 0} (так как нет компоненты k, она равна 0).

Вектор a : a{2; -1; -2}

$$\( \vec{a} - \vec{b} = \{2 - 3; -1 - 4; -2 - 0\} = \{-1; -5; -2\}$$

Теперь найдем скалярное произведение a на (a - b) :

$$\( \vec{a} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 2 \cdot (-1) + (-1) \cdot (-5) + (-2) \cdot (-2) \)$$

$$\( = -2 + 5 + 4 = 7 \)$$

Ответ:

• а) -4
• б) 7