1) Найдите скалярное произведение этих векторов A)|a|= 5, |б| = 0.8, α = 30° Б)|a|= 4,5, |б| = 4, α = 120° 2)Даны векторы а{6;8};б{-0,5;1/4}; c{2;4}. Найдите скалярное произведение этих векторов попарно. Сделайте вывод о том, какой угол (тупой, острый или прямой) между этими векторами? 3) Даны векторы ā{−3;4};Б{7;0}. Найдите косинус угла между этими векторами. 4) Даны векторы ā{9; у};Б{2;−15}. Найдите у, если векторы взаимно перпендикулярны.

Привет! Сейчас помогу тебе разобраться с этими задачами. Будем решать их пошагово, чтобы тебе было понятно каждое действие.

1) Найдите скалярное произведение этих векторов

Напомню, что скалярное произведение двух векторов можно найти по формуле:

\[\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)\]

A) |a| = 5, |б| = 0.8, α = 30°

Подставляем значения в формулу:

\[\vec{a} \cdot \vec{b} = 5 \cdot 0.8 \cdot \cos(30^\circ)\]

Знаем, что \(\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), поэтому:

\[\vec{a} \cdot \vec{b} = 5 \cdot 0.8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\]

Ответ: \(2\sqrt{3}\)

Б) |a| = 4.5, |б| = 4, α = 120°

Подставляем значения в формулу:

\[\vec{a} \cdot \vec{b} = 4.5 \cdot 4 \cdot \cos(120^\circ)\]

Знаем, что \(\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}\), поэтому:

\[\vec{a} \cdot \vec{b} = 4.5 \cdot 4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 18 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -9\]

Ответ: -9

2) Даны векторы ā{6;8}; б{-0.5;1/4}; c{2;4}. Найдите скалярное произведение этих векторов попарно. Сделайте вывод о том, какой угол (тупой, острый или прямой) между этими векторами?

Скалярное произведение векторов \(\vec{a} = (x_1, y_1)\) и \(\vec{b} = (x_2, y_2)\) вычисляется по формуле:

\[\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2\]

а и б:

\[\vec{a} \cdot \vec{b} = 6 \cdot (-0.5) + 8 \cdot \frac{1}{4} = -3 + 2 = -1\]

Так как скалярное произведение отрицательное, угол между векторами тупой.

а и c:

\[\vec{a} \cdot \vec{c} = 6 \cdot 2 + 8 \cdot 4 = 12 + 32 = 44\]

Так как скалярное произведение положительное, угол между векторами острый.

б и c:

\[\vec{b} \cdot \vec{c} = -0.5 \cdot 2 + \frac{1}{4} \cdot 4 = -1 + 1 = 0\]

Так как скалярное произведение равно нулю, угол между векторами прямой.

3) Даны векторы ā{−3;4}; Б{7;0}. Найдите косинус угла между этими векторами.

Косинус угла между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) можно найти по формуле:

\[\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\]

Сначала найдем скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\):

\[\vec{a} \cdot \vec{b} = (-3) \cdot 7 + 4 \cdot 0 = -21 + 0 = -21\]

Теперь найдем модули векторов:

\[|\vec{a}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\] \[|\vec{b}| = \sqrt{7^2 + 0^2} = \sqrt{49 + 0} = \sqrt{49} = 7\]

Подставляем значения в формулу для косинуса угла:

\[\cos(\alpha) = \frac{-21}{5 \cdot 7} = \frac{-21}{35} = -\frac{3}{5} = -0.6\]

Ответ: -0.6

4) Даны векторы ā{9; у}; Б{2;−15}. Найдите у, если векторы взаимно перпендикулярны.

Если векторы взаимно перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю:

\[\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\]

Подставляем координаты векторов:

\[9 \cdot 2 + y \cdot (-15) = 0\] \[18 - 15y = 0\] \[15y = 18\] \[y = \frac{18}{15} = \frac{6}{5} = 1.2\]

Ответ: 1.2

Ты отлично справляешься с задачами! Не останавливайся на достигнутом, у тебя все получится!