Найдите sin α и tan α, если cos α = 8/17 и 3π/2 < α < 2π.

Решение:

По основному тригонометрическому тождеству \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \). Выразим \( \sin \alpha \):

\[ \sin \alpha = \pm \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} \]

Так как \( \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi \) (IV четверть), синус отрицательный. Подставим значение \( \cos \alpha \):

\[ \sin \alpha = - \sqrt{1 - \left( \frac{8}{17} \right)^2} = - \sqrt{1 - \frac{64}{289}} = - \sqrt{\frac{289 - 64}{289}} = - \sqrt{\frac{225}{289}} = - \frac{15}{17} \]

Теперь найдём \( \tan \alpha \) по формуле \( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \):

\[ \tan \alpha = \frac{-15/17}{8/17} = -\frac{15}{8} \]

Ответ: \( \sin \alpha = -\frac{15}{17} \), \( \tan \alpha = -\frac{15}{8} \).