Найдите 5 sin a, если cos a = \frac{2√6}{5} и а ∈ (\frac{3π}{2}; 2π).

Ответ: -1

Решение:

• Так как \( \alpha \in \left(\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right) \), то \( \alpha \) находится в четвертой четверти, где синус отрицателен.
• Используем основное тригонометрическое тождество:

\[\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1\]

• Выражаем \( \sin(\alpha) \) через \( \cos(\alpha) \):

\[\sin(\alpha) = \pm \sqrt{1 - \cos^2(\alpha)}\]

• Подставляем значение \( \cos(\alpha) = \frac{2\sqrt{6}}{5} \):

\[\sin(\alpha) = \pm \sqrt{1 - \left(\frac{2\sqrt{6}}{5}\right)^2}\] \[\sin(\alpha) = \pm \sqrt{1 - \frac{4 \cdot 6}{25}}\] \[\sin(\alpha) = \pm \sqrt{1 - \frac{24}{25}}\] \[\sin(\alpha) = \pm \sqrt{\frac{1}{25}}\] \[\sin(\alpha) = \pm \frac{1}{5}\]

• Поскольку \( \alpha \) в четвертой четверти, выбираем отрицательное значение:

\[\sin(\alpha) = -\frac{1}{5}\]

• Теперь найдем значение \( 5 \sin(\alpha) \):

\[5 \sin(\alpha) = 5 \cdot \left(-\frac{1}{5}\\right) = -1\]

Ответ: -1