Найдите sin 2α, если cos α = -\(\frac{\sqrt{5}}{6}\), α ∈ (π; \(\frac{3π}{2}\)).

Решение:

Нам дано:

• \(\cos α = -\frac{\sqrt{5}}{6}\)
• \(α ∈ (π; \frac{3π}{2})\)

Формула синуса двойного угла:

• \(\sin 2α = 2 \sin α \cos α\)

Сначала нужно найти \(\sin α\). Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

• \(\sin^2 α + \cos^2 α = 1\)

Подставим известное значение \(\cos α\):

• \(\sin^2 α + \left(-\frac{\sqrt{5}}{6}\right)^2 = 1\)
• \(\sin^2 α + \frac{5}{36} = 1\)
• \(\sin^2 α = 1 - \frac{5}{36}\)
• \(\sin^2 α = \frac{31}{36}\)

Извлечем квадратный корень:

• \(\sin α = ±\frac{\sqrt{31}}{6}\)

Поскольку \(α ∈ (π; \frac{3π}{2})\), то есть находится в третьей четверти, где синус отрицателен, выбираем отрицательное значение:

• \(\sin α = -\frac{\sqrt{31}}{6}\)

Теперь подставим значения \(\sin α\) и \(\cos α\) в формулу синуса двойного угла:

• \(\sin 2α = 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{31}}{6}\right) \cdot \left(-\frac{\sqrt{5}}{6}\right)\)
• \(\sin 2α = 2 \cdot \frac{\sqrt{31} \cdot \sqrt{5}}{36}\)
• \(\sin 2α = \frac{\sqrt{155}}{18}\)

Ответ: \(\frac{\sqrt{155}}{18}\)