Найдите sin 2\( \alpha \), если sin \( \alpha \) = - \frac{40}{41}, \( \alpha \) \( \in \) \((\pi; \frac{3\pi}{2})\).

Решение:

1. Найдём cos \( \alpha \). Зная, что \( sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1 \), получим:
   \[cos^2 \alpha = 1 - sin^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{40}{41}\right)^2 = 1 - \frac{1600}{1681} = \frac{1681 - 1600}{1681} = \frac{81}{1681}\]
2. Так как \( \alpha \) лежит в третьей четверти \((\pi; \frac{3\pi}{2})\), где и синус, и косинус отрицательны, то:
   \[cos \alpha = -\sqrt{\frac{81}{1681}} = -\frac{9}{41}\]
3. Теперь найдём sin 2\( \alpha \), используя формулу синуса двойного угла:
   \[sin 2\alpha = 2 sin \alpha cos \alpha = 2 \cdot \left(-\frac{40}{41}\right) \cdot \left(-\frac{9}{41}\right) = 2 \cdot \frac{40 \cdot 9}{41 \cdot 41} = \frac{720}{1681}\]

Ответ: \(\frac{720}{1681}\)