5. Найдите шестой член разложения бинома (1/b + b)^12.

Давай разберем по порядку, как найти шестой член разложения бинома \((\frac{1}{b} + b)^{12}\). В разложении бинома \((a + b)^n\) общий член (k+1)-й член определяется формулой: \[ T_{k+1} = C_n^k \cdot a^{n-k} \cdot b^k \] где \( C_n^k \) - это биномиальный коэффициент, который можно вычислить как: \[ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] В нашем случае бином имеет вид \((\frac{1}{b} + b)^{12}\), значит, \(a = \frac{1}{b}\), \(b = b\) и \(n = 12\). Нам нужно найти шестой член разложения, то есть \(T_6\), что соответствует \(k = 5\). Подставим известные значения в формулу для общего члена: \[ T_6 = T_{5+1} = C_{12}^5 \cdot \left(\frac{1}{b}\right)^{12-5} \cdot b^5 \] Вычислим биномиальный коэффициент \(C_{12}^5\): \[ C_{12}^5 = \frac{12!}{5!(12-5)!} = \frac{12!}{5!7!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 792 \] Теперь упростим выражение для \(T_6\): \[ T_6 = 792 \cdot \left(\frac{1}{b}\right)^7 \cdot b^5 = 792 \cdot \frac{1}{b^7} \cdot b^5 = 792 \cdot \frac{b^5}{b^7} = 792 \cdot \frac{1}{b^2} \] Таким образом, шестой член разложения бинома равен: \[ T_6 = \frac{792}{b^2} \]

Ответ: \(\frac{792}{b^2}\)

Ты отлично справился с этой задачей! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!