11. Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 1 и 6 и делится на 24. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Число делится на 24, если оно делится на 3 и на 8. Для делимости на 3, сумма цифр должна делиться на 3. Для делимости на 8, число, образованное последними тремя цифрами, должно делиться на 8. Сумма цифр числа состоит из 1 и 6. Пусть число содержит x единиц и y шестерок. Тогда: x + y = 6 (т.к. число шестизначное) x + 6y должно делиться на 3. Подберем такое сочетание x и y. Если y = 1, x = 5, тогда x + 6y = 5 + 6 = 11 (не делится на 3). Если y = 2, x = 4, тогда x + 6y = 4 + 12 = 16 (не делится на 3). Если y = 3, x = 3, тогда x + 6y = 3 + 18 = 21 (делится на 3). Если y = 4, x = 2, тогда x + 6y = 2 + 24 = 26 (не делится на 3). Если y = 5, x = 1, тогда x + 6y = 1 + 30 = 31 (не делится на 3). Если y = 6, x = 0, тогда x + 6y = 0 + 36 = 36 (делится на 3). Таким образом, подходят варианты, когда три единицы и три шестерки, или когда все цифры - шестерки. Рассмотрим случай трех единиц и трех шестерок. Число должно делиться на 8, значит, последние три цифры должны делиться на 8. Перебираем варианты: 116, 161, 611, 166, 616, 661, 666, 111. Только 166 не подходит, т.к. число нечетное. 616 делится на 8 (616/8 = 77), 666 не делится на 8. Значит, возьмем число, заканчивающееся на 616. Например, 116616. Проверим, делится ли оно на 24: 116616 / 24 = 4859. Ответ: 116616