Найдите решение уравнения (х^2 + x)y' = (2x + 1)у, удовлетворяющее начальным условиям у(1) = 2. В ответе укажите его значение при х = 5.

Решение:

Данное уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Перепишем уравнение в виде:

\[ \frac{y'}{y} = \frac{2x + 1}{x^2 + x} \]

Проинтегрируем обе части уравнения:

\[ \int \frac{dy}{y} = \int \frac{2x + 1}{x^2 + x} dx \]

Левая часть:

\[ \int \frac{dy}{y} = \ln|y| + C_1 \]

Для правой части сделаем замену:

Пусть \( u = x^2 + x \), тогда \( du = (2x + 1)dx \).

Правая часть интеграла становится:

\[ \int \frac{du}{u} = \ln|u| + C_2 = \ln|x^2 + x| + C_2 \]

Приравнивая результаты, получаем:

\[ \ln|y| = \ln|x^2 + x| + C \]

где \( C = C_2 - C_1 \).

Прологарифмировав, получим:

\( |y| = e^{\ln|x^2 + x| + C} = e^{\ln|x^2 + x|} \cdot e^C = |x^2 + x| \cdot e^C \)

Пусть \( A = \pm e^C \). Тогда:

\( y = A(x^2 + x) \)

Используем начальное условие \( y(1) = 2 \) для нахождения \( A \):

\( 2 = A(1^2 + 1) \)

\( 2 = A(2) \)

\( A = 1 \)

Таким образом, частное решение:

\( y = x^2 + x \)

Теперь найдем значение \( y \) при \( x = 5 \):

\( y(5) = 5^2 + 5 = 25 + 5 = 30 \)

Ответ: 30