8. Найдите разность наибольшего и найсменьшего целых решений двойного неравенства x+6 ≤x²<24-5x

Пошаговое решение:

1. Разделим двойное неравенство на два отдельных: \[x + 6 \le x^2\] и \[x^2 < 24 - 5x\]
2. Решим первое неравенство: \[x^2 - x - 6 \ge 0\] Найдём корни квадратного уравнения \[x^2 - x - 6 = 0\] Дискриминант \[D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25\] Корни: \[x_1 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{1 - 5}{2} = -2\] \[x_2 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{1 + 5}{2} = 3\] Решение неравенства: \[x \le -2\] или \[x \ge 3\]
3. Решим второе неравенство: \[x^2 + 5x - 24 < 0\] Найдём корни квадратного уравнения \[x^2 + 5x - 24 = 0\] Дискриминант \[D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121\] Корни: \[x_3 = \frac{-5 - \sqrt{121}}{2} = \frac{-5 - 11}{2} = -8\] \[x_4 = \frac{-5 + \sqrt{121}}{2} = \frac{-5 + 11}{2} = 3\] Решение неравенства: \[-8 < x < 3\]
4. Объединим решения обоих неравенств: \[x \in (-8; -2] \cup [3; 3)\] или \[x \in (-8; -2] \cup \{3\}\]
5. Целые решения двойного неравенства: \[-7, -6, -5, -4, -3, -2, 3\]
6. Наибольшее целое решение: \[3\] Наименьшее целое решение: \[-7\]
7. Найдём разность наибольшего и наименьшего целых решений: \[3 - (-7) = 3 + 7 = 10\]

Ответ: 10