Найдите расстояние от точки P(1, 2, 2) до плоскости 3x + 2y + 2z = -2.

Решение:

Для нахождения расстояния от точки \( P(x_0, y_0, z_0) \) до плоскости \( Ax + By + Cz + D = 0 \) используется формула:

\[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \]

В данном случае:

• Точка \( P = (1, 2, 2) \), значит \( x_0 = 1, y_0 = 2, z_0 = 2 \).
• Плоскость задана уравнением \( 3x + 2y + 2z = -2 \). Приведём его к виду \( Ax + By + Cz + D = 0 \): \( 3x + 2y + 2z + 2 = 0 \).
• Коэффициенты плоскости: \( A = 3, B = 2, C = 2 \), и \( D = 2 \).

Подставим значения в формулу:

\[ d = \frac{|3 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2 + 2|}{\sqrt{3^2 + 2^2 + 2^2}} \]\[ d = \frac{|3 + 4 + 4 + 2|}{\sqrt{9 + 4 + 4}} \]\[ d = \frac{|13|}{\sqrt{17}} \]\[ d = \frac{13}{\sqrt{17}} \]

Для удобства можно умножить числитель и знаменатель на \( \sqrt{17} \):

\[ d = \frac{13\sqrt{17}}{17} \]

Ответ: \(\frac{13}{\sqrt{17}}\).