Найдите расстояние между прямыми АС и BD1, если ABCDA1B1D1С1 — куб с реб- ром 1.

Ответ: \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Пошаговое решение:

• Введем систему координат с началом в точке \(A\), ось \(x\) направим вдоль \(AB\), ось \(y\) — вдоль \(AD\), ось \(z\) — вдоль \(AA_1\).
• Тогда координаты точек будут:

\[A(0;0;0), C(1;1;0), B(1;0;0), D_1(0;1;1)\]

• Найдем направляющие векторы прямых \(AC\) и \(BD_1\):

\[\overrightarrow{AC} = \{1;1;0\}, \overrightarrow{BD_1} = \{-1;1;1\}\]

• Найдем векторное произведение этих векторов:

\[\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD_1} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (1 \cdot i) + (-1 \cdot j) + (2 \cdot k) = \{1;-1;2\}\]

• Длина этого векторного произведения:

\[|\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD_1}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{6}\]

• Смешанное произведение векторов \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{BD_1}\) и \(\overrightarrow{AB}\) равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.
• В качестве третьего вектора можно взять любой вектор, соединяющий точки на этих прямых, например, \(\overrightarrow{AB} = \{1;0;0\}\).

\[V = |(\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD_1}) \cdot \overrightarrow{AB}| = |\{1;-1;2\} \cdot \{1;0;0\}| = |1 \cdot 1 + (-1) \cdot 0 + 2 \cdot 0| = 1\]

• Расстояние между скрещивающимися прямыми вычисляется по формуле:

\[d = \frac{|(\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD_1}) \cdot \overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD_1}|} = \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6}\]

• Рассмотрим плоскость, проходящую через точку \(B\) перпендикулярно прямой \(AC\) .
• Уравнение плоскости: \(x + y + D = 0\).
• Подставим координаты точки \(B(1;0;0)\): \(1 + 0 + D = 0\), следовательно, \(D = -1\).
• Уравнение плоскости: \(x + y - 1 = 0\).
• Найдем расстояние от точки \(D_1(0;1;1)\) до этой плоскости:

\[d = \frac{|0 + 1 - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = 0\]

• Проекция точки \(D_1\) на плоскость \(x + y - 1 = 0\) является точкой пересечения прямой, проходящей через \(D_1\) перпендикулярно этой плоскости.
• Найдем уравнение прямой: \(x = t, y = 1 + t, z = 1\).
• Подставим в уравнение плоскости: \(t + 1 + t - 1 = 0\), \(2t = 0\), \(t = 0\).
• Координаты точки пересечения: \((0;1;1)\).
• Таким образом, расстояние между прямыми равно расстоянию от точки \(D_1\) до прямой \(AC\), что равно \(\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Ответ: \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)