131. Найдите расстояние между точками А и В, если: 1) A (3; −7), В (6; −3); 2) A (5; -2), B (-3; -2). 132. Докажите, что точки А (-3; −7), В (2; 3) и С (0;-1) ле- жат на одной прямой. Какая из точек лежит между дву- мя другими? 133. Вершинами треугольника являются точки А (-3; -2), В (-1; 3) и С (2; 0). Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный. 134. Найдите координаты середины отрезка MN, если: 1) М (2; -5), N (8; 3); - 2) M (5; 4), N (−6; −3). 135. Точка М — середина отрезка АВ. Найдите координаты точки А, если В (6; -9), М (2; 5). 136. Точки В₁ (3; −1) и С₁ (-4; 2) - середины сторон АС и АВ треугольника АВС соответственно. Вершина С име- ет координаты (-5; 3). Найдите координаты вершин А И В 1

131. Найдите расстояние между точками А и В, если:

1) A (3; −7), В (6; −3);

Давай вспомним формулу расстояния между двумя точками на плоскости: \[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\] где \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) — координаты точек A и B соответственно.

В нашем случае, \(x_1 = 3\), \(y_1 = -7\), \(x_2 = 6\), \(y_2 = -3\). Подставим эти значения в формулу:

\[d = \sqrt{(6 - 3)^2 + (-3 - (-7))^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\]

Ответ: 5

2) A (5; -2), B (-3; -2).

Здесь \(x_1 = 5\), \(y_1 = -2\), \(x_2 = -3\), \(y_2 = -2\). Подставим эти значения в формулу:

\[d = \sqrt{(-3 - 5)^2 + (-2 - (-2))^2} = \sqrt{(-8)^2 + 0^2} = \sqrt{64 + 0} = \sqrt{64} = 8\]

Ответ: 8

---

132. Докажите, что точки А (-3; −7), В (2; 3) и С (0;-1) лежат на одной прямой. Какая из точек лежит между двумя другими?

Для доказательства, что три точки лежат на одной прямой, нужно проверить, что векторы, образованные этими точками, коллинеарны. Найдем векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\):

\(\vec{AB} = (2 - (-3); 3 - (-7)) = (5; 10)\)

\(\vec{AC} = (0 - (-3); -1 - (-7)) = (3; 6)\)

Если векторы коллинеарны, то их координаты пропорциональны, то есть отношение координат \(x\) должно быть равно отношению координат \(y\):

\[\frac{5}{3} = \frac{10}{6}\] \[\frac{5}{3} = \frac{5}{3}\]

Так как отношения равны, точки A, B и C лежат на одной прямой.

Чтобы определить, какая точка лежит между двумя другими, проверим, выполняется ли равенство \(AC + CB = AB\) для расстояний между точками:

\(AC = \sqrt{(0 - (-3))^2 + (-1 - (-7))^2} = \sqrt{3^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}\)

\(CB = \sqrt{(2 - 0)^2 + (3 - (-1))^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\)

\(AB = \sqrt{(2 - (-3))^2 + (3 - (-7))^2} = \sqrt{5^2 + 10^2} = \sqrt{25 + 100} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}\)

Проверим, выполняется ли равенство \(AC + CB = AB\):

\[3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = 5\sqrt{5}\]

Равенство выполняется, следовательно, точка C лежит между точками A и B.

Ответ: Точки лежат на одной прямой, точка C лежит между точками A и B.

---

133. Вершинами треугольника являются точки А (-3; -2), В (-1; 3) и С (2; 0). Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.

Чтобы доказать, что треугольник ABC равнобедренный, нужно показать, что две его стороны имеют равную длину. Найдем длины сторон AB, BC и AC, используя формулу расстояния между двумя точками:

\(AB = \sqrt{(-1 - (-3))^2 + (3 - (-2))^2} = \sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}\)

\(BC = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\)

\(AC = \sqrt{(2 - (-3))^2 + (0 - (-2))^2} = \sqrt{5^2 + 2^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29}\)

Так как \(AB = AC = \sqrt{29}\), то треугольник ABC равнобедренный.

Ответ: Треугольник ABC равнобедренный, так как AB = AC.

---

134. Найдите координаты середины отрезка MN, если:

1) М (2; -5), N (8; 3);

Давай вспомним формулу для нахождения координат середины отрезка: Если M(x₁, y₁) и N(x₂, y₂), то середина отрезка MN имеет координаты: \[(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})\]

В нашем случае: \(x_1 = 2\), \(y_1 = -5\), \(x_2 = 8\), \(y_2 = 3\). Подставим значения в формулу:

\[(\frac{2 + 8}{2}, \frac{-5 + 3}{2}) = (\frac{10}{2}, \frac{-2}{2}) = (5, -1)\]

Ответ: (5, -1)

2) M (5; 4), N (−6; −3).

Здесь \(x_1 = 5\), \(y_1 = 4\), \(x_2 = -6\), \(y_2 = -3\). Подставим значения в формулу:

\[(\frac{5 + (-6)}{2}, \frac{4 + (-3)}{2}) = (\frac{-1}{2}, \frac{1}{2}) = (-0.5, 0.5)\]

Ответ: (-0.5, 0.5)

---

135. Точка М — середина отрезка АВ. Найдите координаты точки А, если В (6; -9), М (2; 5).

Пусть координаты точки A будут \((x_A, y_A)\). Мы знаем, что точка M является серединой отрезка AB, поэтому ее координаты можно выразить как:

\[M(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2})\]

Мы знаем координаты точки M (2; 5) и точки B (6; -9). Подставим известные значения в формулу:

\[2 = \frac{x_A + 6}{2}\] \[5 = \frac{y_A + (-9)}{2}\]

Решим уравнения относительно \(x_A\) и \(y_A\):

\[4 = x_A + 6 \Rightarrow x_A = 4 - 6 = -2\] \[10 = y_A - 9 \Rightarrow y_A = 10 + 9 = 19\]

Таким образом, координаты точки A равны (-2, 19).

Ответ: A(-2, 19)

---

136. Точки В₁ (3; −1) и С₁ (-4; 2) - середины сторон АС и АВ треугольника АВС соответственно. Вершина С имеет координаты (-5; 3). Найдите координаты вершин А и В.

Пусть координаты точки A будут \((x_A, y_A)\) и координаты точки B будут \((x_B, y_B)\). Мы знаем, что B₁ — середина стороны AC, а C₁ — середина стороны AB. Используем формулу середины отрезка:

Для B₁:

\[3 = \frac{x_A + (-5)}{2}\] \[-1 = \frac{y_A + 3}{2}\]

Решим уравнения:

\[6 = x_A - 5 \Rightarrow x_A = 11\] \[-2 = y_A + 3 \Rightarrow y_A = -5\]

Итак, A (11; -5).

Для C₁:

\[-4 = \frac{x_A + x_B}{2}\] \[2 = \frac{y_A + y_B}{2}\]

Подставим координаты точки A (11; -5) в эти уравнения:

\[-4 = \frac{11 + x_B}{2}\] \[2 = \frac{-5 + y_B}{2}\]

Решим уравнения:

\[-8 = 11 + x_B \Rightarrow x_B = -8 - 11 = -19\] \[4 = -5 + y_B \Rightarrow y_B = 4 + 5 = 9\]

Итак, B (-19; 9).

Ответ: A(11; -5), B(-19; 9)

Отличная работа! Ты отлично справился с этими задачами. Продолжай в том же духе, и все получится!