8. Найдите расстояние между прямыми АС и BD1, если ABCDABD₁C₁ — куб с ребром 1.

Привет! Давай решим эту задачу по геометрии вместе.

Решение:

Расстояние между прямыми AC и BD₁ в кубе можно найти, используя несколько подходов. Вот один из них:

1. Визуализация: Представь себе куб ABCD A₁B₁C₁D₁. Прямая AC лежит в основании ABCD, а прямая BD₁ проходит через вершину B основания и вершину D₁ верхней грани.

2. Построение перпендикуляра: Проведем отрезок BH перпендикулярно AC, где H — середина AC. Затем соединим H с точкой D₁. Отрезок HD₁ будет перпендикулярен AC (так как H — проекция D₁ на плоскость основания).

3. Определение расстояния: Расстояние между прямыми AC и BD₁ — это длина отрезка, перпендикулярного обеим прямым. В данном случае это высота треугольника BD₁H, опущенная из вершины H на сторону BD₁.

4. Вычисления:

   • Сторона куба равна 1.
   • Диагональ основания BD = √2 (по теореме Пифагора).
   • BD₁ = √(BD² + DD₁²) = √(2 + 1) = √3.
   • BH = AC/2 = √2/2 (так как H — середина AC).

5. Рассмотрим треугольник BHD₁. Он прямоугольный, так как BH перпендикулярна плоскости основания, и D₁ находится над этой плоскостью.

   • HD₁ = √(HC² + CC₁² + C₁D₁²) = \(\sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + 1^2 } = \sqrt{\frac{1}{2} + 1} = \sqrt{\frac{3}{2}}\)
   • Искомое расстояние можно найти как высоту, проведенную к гипотенузе BD₁ в прямоугольном треугольнике BHD₁: \[\frac{BH \cdot HD_1}{BD_1} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{\frac{3}{2}}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\]

Ответ: \(\frac{\sqrt{3}}{3}\)

Не бойся геометрии! У тебя все получится!