Найдите радиус окружности, вписанной в ромб ABCD, если диагональ АС ромба равна 96, а тангенс угла ВСА равен 7/24.

Пусть O - центр вписанной окружности. В ромбе диагонали перпендикулярны и делятся пополам. Следовательно, AC = 96, AO = 48. В прямоугольном треугольнике BOC, tg(∠BCA) = OB/OC = 7/24. Пусть OB = 7x, OC = 24x. Так как OC = AO = 48, то 24x = 48, откуда x = 2. Тогда OB = 7 * 2 = 14. Радиус вписанной окружности равен высоте ромба, деленной пополам. Площадь ромба S = (1/2) * AC * BD = (1/2) * 96 * (2 * OB) = 48 * 2 * 14 = 1344. Также площадь ромба S = a * h, где a - сторона ромба, h - высота. Сторона ромба AB = sqrt(AO^2 + OB^2) = sqrt(48^2 + 14^2) = sqrt(2304 + 196) = sqrt(2500) = 50. Высота ромба h = S/a = 1344/50 = 26.88. Радиус вписанной окружности r = h/2 = 26.88 / 2 = 13.44.

Альтернативный способ: В прямоугольном треугольнике BOC, tg(∠BCA) = OB/OC = 7/24. Пусть OB = 7x, OC = 24x. Так как OC = AO = 48, то 24x = 48, откуда x = 2. Тогда OB = 7 * 2 = 14. Радиус вписанной окружности равен расстоянию от центра до стороны ромба. В прямоугольном треугольнике BOC, радиус вписанной окружности r = (OB * OC) / BC. BC = sqrt(OB^2 + OC^2) = sqrt(14^2 + 48^2) = sqrt(196 + 2304) = sqrt(2500) = 50. r = (14 * 48) / 50 = 672 / 50 = 13.44.