Найдите радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, если ее основания равны 8 см и 2 см.

Привет! Давай разберем эту задачку вместе.

Дано:

• Равнобедренная трапеция.
• Основания: $$a = 8$$ см, $$b = 2$$ см.
• В трапецию вписана окружность.

Найти: Радиус вписанной окружности ($$r$$).

Решение:

Для того чтобы в трапецию можно было вписать окружность, сумма противоположных сторон должна быть равна. В равнобедренной трапеции боковые стороны равны, поэтому:

$$a + b = 2c$$, где $$c$$ — длина боковой стороны.

Подставляем известные значения:

$$8 + 2 = 2c$$

$$10 = 2c$$

$$c = 5$$ см.

Теперь найдем высоту трапеции. Высота равнобедренной трапеции, в которую вписана окружность, равна диаметру этой окружности, то есть $$h = 2r$$.

Чтобы найти высоту, проведем две высоты из концов меньшего основания к большему. Эти высоты разделят большее основание на три отрезка. Средний отрезок будет равен меньшему основанию ($$b = 2$$ см), а два крайних отрезка будут равны:

$$(a - b) / 2 = (8 - 2) / 2 = 6 / 2 = 3$$ см.

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник, где:

• Гипотенуза — боковая сторона трапеции ($$c = 5$$ см).
• Один катет — отрезок большего основания (3 см).
• Другой катет — высота трапеции ($$h$$).

По теореме Пифагора:

$$c^2 = h^2 + ((a - b) / 2)^2$$

$$5^2 = h^2 + 3^2$$

$$25 = h^2 + 9$$

$$h^2 = 25 - 9$$

$$h^2 = 16$$

$$h = 4$$ см.

Так как высота трапеции равна диаметру вписанной окружности ($$h = 2r$$):

$$4 = 2r$$

$$r = 4 / 2$$

$$r = 2$$ см.

Ответ: 2 см.