Найдите пятизначное число, кратное 36, произведение цифр которого больше 50, но меньше 60. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение:

Чтобы число было кратно 36, оно должно быть кратно 4 и 9 одновременно.

Признак делимости на 4: последние две цифры образуют число, кратное 4.

Признак делимости на 9: сумма цифр числа делится на 9.

Произведение цифр должно быть больше 50 и меньше 60. Переберём возможные наборы цифр, произведение которых удовлетворяет условию:

• \( 6 \times 7 \times 1 \times 1 \times 1 = 42 \) (слишком мало)
• \( 9 \times 6 \times 1 \times 1 \times 1 = 54 \)
• \( 8 \times 7 \times 1 \times 1 \times 1 = 56 \)
• \( 9 \times 5 \times 1 \times 1 \times 2 = 90 \) (слишком много)
• \( 7 \times 7 \times 1 \times 1 \times 1 = 49 \) (слишком мало)
• \( 6 \times 8 \times 1 \times 1 \times 1 = 48 \) (слишком мало)
• \( 5 \times 5 \times 2 \times 2 \times 2 = 100 \) (слишком много)
• \( 5 \times 3 \times 3 \times 2 \times 1 = 90 \) (слишком много)
• \( 7 \times 2 \times 2 \times 2 \times 1 = 56 \)
• \( 7 \times 2 \times 2 \times 1 \times 1 = 28 \) (слишком мало)
• \( 7 \times 8 \times 1 \times 1 \times 1 = 56 \)
• \( 6 \times 6 \times 1 \times 1 \times 1 = 36 \) (слишком мало)
• \( 9 \times 5 \times 1 \times 1 \times 1 = 45 \) (слишком мало)
• \( 8 \times 6 \times 1 \times 1 \times 1 = 48 \) (слишком мало)
• \( 7 \times 5 \times 1 \times 2 \times 1 = 70 \) (слишком много)
• \( 9 \times 7 \times 1 \times 1 \times 1 = 63 \) (слишком много)

Рассмотрим наборы с произведением 54:

• \( 9 \times 6 \times 1 \times 1 \times 1 = 54 \). Сумма цифр \( 9+6+1+1+1 = 18 \), что делится на 9. Возможные числа: 11169, 11196, 11619, 11691, 11916, 11961, 16119, 16191, 16911, 19116, 19161, 19611, 61119, 61191, 61911, 69111, 91116, 91161, 91611, 96111.
• Проверим делимость на 4. Числа, оканчивающиеся на 16, 96, 196, 616, 916, 116, 696, 96, 16, 116, 616, 916, 196, 696, 96, 16, 116, 616, 916, 196, 696.
• Числа, оканчивающиеся на 96: 11196, 116196(6 цифр), 11916, 161196(6 цифр), 169116(6 цифр), 19116, 196116(6 цифр), 611196(6 цифр), 619116(6 цифр), 691116(6 цифр), 91116, 916116(6 цифр), 961116(6 цифр).
• Рассмотрим пятизначные числа.
• 11196: Сумма цифр = 18 (делится на 9). Последние две цифры 96 (делится на 4). Произведение цифр = 1*1*1*9*6 = 54.

Рассмотрим наборы с произведением 56:

• \( 8 \times 7 \times 1 \times 1 \times 1 = 56 \). Сумма цифр \( 8+7+1+1+1 = 18 \), что делится на 9. Возможные числа: 11178, 11187, 11718, 11781, 11817, 11871, 17118, 17181, 17811, 18117, 18171, 18711, 71118, 71181, 71811, 78111, 81117, 81171, 81711, 87111.
• Проверим делимость на 4. Числа, оканчивающиеся на 18, 81, 17, 71, 118, 7118, 8118, 1718, 7818, 1818.
• Числа, оканчивающиеся на 18: 11718, 17118, 71118, 81118.
• 11718: Сумма цифр = 18 (делится на 9). Последние две цифры 18 (не делится на 4).
• 17118: Сумма цифр = 18 (делится на 9). Последние две цифры 18 (не делится на 4).
• 71118: Сумма цифр = 18 (делится на 9). Последние две цифры 18 (не делится на 4).
• 81118: Сумма цифр = 19 (не делится на 9).
• Числа, оканчивающиеся на 78: 11178, 11871(оканчивается на 71), 18178, 71178, 81178.
• 11178: Сумма цифр = 18 (делится на 9). Последние две цифры 78 (не делится на 4).
• 18178: Сумма цифр = 25 (не делится на 9).
• 71178: Сумма цифр = 24 (не делится на 9).
• 81178: Сумма цифр = 25 (не делится на 9).
• Числа, оканчивающиеся на 117: 81117, 18117, 78111, 17811.
• 81117: Сумма цифр = 18 (делится на 9). Последние две цифры 17 (не делится на 4).
• 18117: Сумма цифр = 18 (делится на 9). Последние две цифры 17 (не делится на 4).
• 78111: Сумма цифр = 18 (делится на 9). Последние две цифры 11 (не делится на 4).
• 17811: Сумма цифр = 18 (делится на 9). Последние две цифры 11 (не делится на 4).

Проверим число 11196.

1. Делимость на 36:

• На 4: Последние две цифры 96. \( 96 : 4 = 24 \). Число делится на 4.
• На 9: Сумма цифр \( 1 + 1 + 1 + 9 + 6 = 18 \). \( 18 : 9 = 2 \). Число делится на 9.
• Так как число делится на 4 и 9, оно делится на 36.

2. Произведение цифр:

• \( 1 \times 1 \times 1 \times 9 \times 6 = 54 \).
• \( 50 < 54 < 60 \). Условие выполняется.

3. Пятизначное число:

• 11196 — пятизначное число.

Ответ: 11196