Найдите proj_b a: a = (-3, 1, 3), b = (-1, -2, -1)

Решение:

Чтобы найти проекцию вектора \( \vec{a} \) на вектор \( \vec{b} \), воспользуемся формулой:

\[ \text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \vec{b} \]

Сначала найдём скалярное произведение векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \):

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = (-3)(-1) + (1)(-2) + (3)(-1) = 3 - 2 - 3 = -2 \]

Теперь найдём квадрат длины вектора \( \vec{b} \):

\[ |\vec{b}|^2 = (-1)^2 + (-2)^2 + (-1)^2 = 1 + 4 + 1 = 6 \]

Подставим найденные значения в формулу проекции:

\[ \text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{-2}{6} \vec{b} = -\frac{1}{3} \vec{b} \]

Умножим вектор \( \vec{b} \) на полученный скаляр:

\[ \text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = -\frac{1}{3}(-1, -2, -1) = \left(-\frac{1}{3} \cdot -1, -\frac{1}{3} \cdot -2, -\frac{1}{3} \cdot -1\right) = \left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right) \]

Переведём обыкновенные дроби в десятичные:

\[ \left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right) \approx (0.33, 0.67, 0.33) \]

Ответ: (0.33, 0.67, 0.33)