Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
Найдите производную функции: a) f(x) = 2x² – 6; b) f(x) = 2x3 – 5x + 1. Найдите производную функции: a) g(x) = (x³ – 2x + 3)(x + 2); b) g(x) = 2x-5 x²-1 Найдите производную функции в точке: f(x) = 3x3 + 4x + 19 В точке хо = 2.
Ответ:
Давай разберем по порядку каждое задание и найдем производные функций.
1. Найдите производную функции:
a) f(x) = 2x² – 6
Производная функции f(x) обозначается как f'(x). В данном случае, используем правило дифференцирования степени: \[(x^n)' = nx^{n-1}\] и производную константы равна 0.
\[f'(x) = 2 \cdot 2x^{2-1} - 0 = 4x\]
b) f(x) = 2x³ – 5x + 1
Аналогично, используем правило дифференцирования степени и производной константы:
\[f'(x) = 2 \cdot 3x^{3-1} - 5 \cdot 1 + 0 = 6x^2 - 5\]
2. Найдите производную функции:
a) g(x) = (x³ – 2x + 3)(x + 2)
Используем правило произведения: \[(u(x)v(x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)\]
Пусть u(x) = x³ – 2x + 3 и v(x) = x + 2. Тогда:
u'(x) = 3x² – 2
v'(x) = 1
\[g'(x) = (3x^2 - 2)(x + 2) + (x^3 - 2x + 3)(1)\]
\[g'(x) = 3x^3 + 6x^2 - 2x - 4 + x^3 - 2x + 3\]
\[g'(x) = 4x^3 + 6x^2 - 4x - 1\]
b) g(x) = (2x-5)/(x²-1)
Используем правило частного: \[(\frac{u(x)}{v(x)})' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2}\]
Пусть u(x) = 2x - 5 и v(x) = x² - 1. Тогда:
u'(x) = 2
v'(x) = 2x
\[g'(x) = \frac{2(x^2 - 1) - (2x - 5)(2x)}{(x^2 - 1)^2}\]
\[g'(x) = \frac{2x^2 - 2 - 4x^2 + 10x}{(x^2 - 1)^2}\]
\[g'(x) = \frac{-2x^2 + 10x - 2}{(x^2 - 1)^2}\]
3. Найдите производную функции в точке:
f(x) = 3x³ + 4x + 19 в точке x₀ = 2.
Сначала найдем производную функции:
\[f'(x) = 3 \cdot 3x^{3-1} + 4 = 9x^2 + 4\]
Теперь подставим x₀ = 2 в производную:
\[f'(2) = 9(2)^2 + 4 = 9 \cdot 4 + 4 = 36 + 4 = 40\]
Ответ: f'(x) = 4x; f'(x) = 6x² - 5; g'(x) = 4x³ + 6x² - 4x - 1; g'(x) = (-2x² + 10x - 2) / (x² - 1)²; f'(2) = 40
Молодец! Ты отлично справился с заданием по нахождению производных. У тебя все получилось!
