Найдите производную функции y = cos(4x) / √x

Решение:

Для нахождения производной функции \( y = \frac{\cos 4x}{\sqrt{x}} \) воспользуемся правилом дифференцирования частного: \( \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2} \).

Пусть \( f(x) = \cos 4x \) и \( g(x) = \sqrt{x} \).

Найдем производные \( f'(x) \) и \( g'(x) \):

• \( f'(x) = (\cos 4x)' = -\sin 4x \cdot (4x)' = -4\sin 4x \)
• \( g'(x) = (\sqrt{x})' = \left(x^{\frac{1}{2}}\right)' = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \)

Теперь подставим найденные производные в формулу для производной частного:

\[ y' = \frac{(-4\sin 4x)(\sqrt{x}) - (\cos 4x)(\frac{1}{2\sqrt{x}})}{(\sqrt{x})^2} \]\[ y' = \frac{-4\sqrt{x}\sin 4x - \frac{\cos 4x}{2\sqrt{x}}}{x} \]\[ y' = \frac{\frac{-4x\sin 4x - \frac{1}{2}\cos 4x}{\sqrt{x}}}{x} \]\[ y' = \frac{-4x\sin 4x - \frac{1}{2}\cos 4x}{x\sqrt{x}} \]\[ y' = \frac{-8x\sin 4x - \cos 4x}{2x\sqrt{x}} \]или\( y' = -\frac{8x\sin 4x + \cos 4x}{2x\sqrt{x}} \)

Ответ: \( y' = -\frac{8x\sin 4x + \cos 4x}{2x\sqrt{x}} \).