Найдите производную функции f(x)=x•e-x.

Решение:

Для нахождения производной функции \( f(x) = x · e^{-x} \) воспользуемся правилом произведения. Правило произведения гласит: \( (uv)' = u'v + uv' \), где \( u = x \) и \( v = e^{-x} \).

1. Найдем производную \( u' \): \( u' = (x)' = 1 \).
2. Найдем производную \( v' \): \( v' = (e^{-x})' \). Здесь применим правило цепочки. Производная \( e^u \) равна \( e^u \), а производная \( -x \) равна \( -1 \). Таким образом, \( v' = e^{-x} · (-1) = -e^{-x} \).
3. Применим правило произведения: \( f'(x) = u'v + uv' = 1 · e^{-x} + x · (-e^{-x}) \).
4. Упростим выражение: \( f'(x) = e^{-x} - xe^{-x} \).
5. Можно вынести \( e^{-x} \) за скобки: \( f'(x) = e^{-x}(1 - x) \).

Ответ: e^-x(1 - x).