Найдите производную функции f(x)=cosxx2.

Решение:

Чтобы найти производную функции \( f(x) = \cos(x^2) \), применим правило дифференцирования сложной функции. Пусть \( u = x^2 \). Тогда \( f(x) = \cos(u) \).

Производная \( \cos(u) \) по \( u \) равна \( -\sin(u) \).

Производная \( u = x^2 \) по \( x \) равна \( 2x \).

По правилу дифференцирования сложной функции, \( f'(x) = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx} \).

Следовательно, \( f'(x) = -\sin(u) \cdot 2x \).

Подставляем обратно \( u = x^2 \):

\[ f'(x) = -\sin(x^2) \cdot 2x = -2x\sin(x^2) \]

Проверим варианты ответа:

• a. \( \cos(2x) \cdot \cos x + x^2 \sin x \) — Неверно.
• b. \( \cos(2x) \) — Неверно.
• c. \( \sin(2x) \) — Неверно.

К сожалению, ни один из предложенных вариантов не соответствует полученной производной \( -2x\sin(x^2) \). Возможно, в условии функции или вариантах ответа есть опечатка. Если функция была \( f(x) = x^2 \cos x \), то производная была бы \( 2x \cos x - x^2 \sin x \). Если функция была \( f(x) = \cos(x) \cdot x^2 \), то производная была бы \( -\sin(x) \cdot x^2 + \cos(x) \cdot 2x = 2x\cos x - x^2\sin x \).

Если имелось в виду \( f(x) = \cos(x) \cdot 2 \), то производная равна \( -2\sin(x) \).

Если функция была \( f(x) = \cos^2(x) \), то производная \( 2\cos(x)(-\sin(x)) = -2\sin(x)\cos(x) = -\sin(2x) \).

Учитывая, что в задании указано \( f(x) = \cos xx2 \), где \( xx2 \) скорее всего означает \( x^2 \), то правильный ответ \( -2x\sin(x^2) \).

Если предположить, что функция была \( f(x) = x^2 · · · \) и подразумевалось \( f(x) = x^2 · · · \) с неявным умножением, и варианты ответов соответствуют другому заданию, то мы не можем дать точный ответ.