Найдите произведение наименьшего целого решения на количество целых решений неравенства ((x-2)²+4x-53)(x+7) ≤0. x-5

Решение неравенства:

Сначала преобразуем выражение в числителе:

\[ (x-2)^2 + 4x - 53 = x^2 - 4x + 4 + 4x - 53 = x^2 - 49 \]

Теперь наше неравенство выглядит так:

\[ \frac{(x^2 - 49)(x+7)}{x-5} \le 0 \]

Разложим числитель на множители, используя разность квадратов:

\[ \frac{(x-7)(x+7)(x+7)}{x-5} \le 0 \]

\[ \frac{(x-7)(x+7)^2}{x-5} \le 0 \]

Найдем корни числителя и знаменателя:

• \[ x-7 = 0 \implies x = 7 \]
• \[ (x+7)^2 = 0 \implies x = -7 \]
• \[ x-5 = 0 \implies x = 5 \]

Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки интервалов. Так как \[(x+7)^2 \ge 0 \] при любом \(x\), знак неравенства будет определяться знаками \[ \frac{x-7}{x-5} \].

Рассмотрим интервалы:

• Если \(x < 5\), то \(x-7 < 0\) и \(x-5 < 0\). Тогда \[ \frac{(-)}{(-)} = (+) \]
• Если \(5 < x < 7\), то \(x-7 < 0\) и \(x-5 > 0\). Тогда \[ \frac{(-)}{(+)} = (-) \]
• Если \(x > 7\), то \(x-7 > 0\) и \(x-5 > 0\). Тогда \[ \frac{(+)}{(+)} = (+) \]

Нам нужно \[ \frac{(x-7)(x+7)^2}{x-5} \le 0 \].

Учитывая, что \((x+7)^2\) всегда неотрицательно, и оно равно нулю при \(x = -7\), мы имеем:

• При \(x = -7\), неравенство выполняется (0 \le 0).
• При \(x = 7\), неравенство выполняется (0 \le 0).
• При \(x = 5\), знаменатель обращается в ноль, поэтому \(x e 5\).

Таким образом, решениями будут интервалы, где дробь неположительна, а также точки, где числитель равен нулю (при условии, что знаменатель не равен нулю).

Интервал, где \[ \frac{x-7}{x-5} \] отрицателен, это \(5 < x < 7\).

Также, \(x = -7\) является решением.

Объединяя, получаем: \(x = -7\) и \(5 < x \le 7\).

Целые решения на этом промежутке:

• \(x = -7\)
• \(x = 6\)
• \(x = 7\)

Наименьшее целое решение: \(-7\).

Количество целых решений: 3.

Произведение наименьшего целого решения на количество целых решений:

\[ -7 \times 3 = -21 \]

Ответ: -21