Найдите произведение корней уравнения: 3^{x^2 - 1} = 243

Решение:

Сначала приведём уравнение к одному основанию. Так как \( 243 = 3^5 \), то уравнение можно записать как:

\[ 3^{x^2 - 1} = 3^5 \]

Поскольку основания равны, приравниваем показатели степеней:

\[ x^2 - 1 = 5 \]

Теперь решим полученное квадратное уравнение:

\[ x^2 = 5 + 1 \]\[ x^2 = 6 \]

Это уравнение имеет два корня:

\[ x_1 = \sqrt{6} \]\[ x_2 = -\sqrt{6} \]

Найдём произведение корней:

\[ x_1 \cdot x_2 = \sqrt{6} \cdot \left(-\sqrt{6}\right) = -6 \]

Ответ: -6