Найдите площади поверхностей тел вращения. В соответствующие поля введите недостающее число. Условия: PO=3, OA=4. BC=AC=8. Угол между AC и основанием равен 45°.

Рассмотрим первое тело вращения - конус.

Нам дано: PO = 3 (высота конуса), OA = 4 (радиус основания конуса).

Чтобы найти площадь полной поверхности конуса, нам нужно знать радиус основания (r) и образующую (l). Радиус основания нам известен, OA = r = 4. Нужно найти образующую.

Образующую можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника POA (PO - высота, OA - радиус основания, PA - образующая):

$$PA = \sqrt{PO^2 + OA^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

Итак, образующая l = 5.

Площадь полной поверхности конуса вычисляется по формуле: $$S_{полн} = \pi r (r + l)$$.

Подставляем известные значения: $$S_{полн} = \pi * 4 * (4 + 5) = \pi * 4 * 9 = 36\pi$$.

Теперь рассмотрим второе тело вращения - цилиндр.

Нам дано: BC = AC = 8, угол между AC и основанием равен 45°.

AC - это диагональ осевого сечения цилиндра. Так как угол между AC и основанием равен 45°, то осевое сечение является квадратом, а значит, высота цилиндра равна диаметру основания. Пусть радиус основания равен r, тогда высота цилиндра h = 2r.

Из прямоугольного треугольника ABC (где AB - высота, BC - диаметр основания, AC - диагональ) имеем:

$$AC^2 = AB^2 + BC^2$$ $$8^2 = (2r)^2 + (2r)^2$$ $$64 = 4r^2 + 4r^2$$ $$64 = 8r^2$$ $$r^2 = 8$$ $$r = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$

Тогда высота цилиндра h = 2r = 4√2.

Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле: $$S_{полн} = 2\pi r (r + h)$$.

Подставляем известные значения: $$S_{полн} = 2\pi * 2\sqrt{2} * (2\sqrt{2} + 4\sqrt{2}) = 2\pi * 2\sqrt{2} * 6\sqrt{2} = 2\pi * 12 * 2 = 48\pi$$.

Ответ: Площадь полной поверхности конуса равна $$36\pi$$ π ед. кв., площадь полной поверхности цилиндра равна $$48\pi$$ π ед. кв.